Hallo liebe Experten,
ich sitze hier gerade an meinem Optik-unterricht und berechne eine Aufgabe, die sich aber leider nur dann lösen läßt, wenn man schreibt:
d(n²) = 2n*dn
Was gibt mir das Recht dazu, das zu schreiben?
Viele Grüße
Bernhard
d(n^2)/dn = 2n (owT)
.
Darf man das?
Hallo,
Ja darf man das denn? Es gibt doch mit Sicherheit Fälle, wo man nicht einfach so mit Ableitungen multiplizieren und dividieren kann. Beispiel
(Im Folgenden schreibe ich die partielle Ableitung mit 6 )
Es gilt:
df = 6f/6x *dx
Hier darf ich glaube ich nicht durch dx dividieren, denn sonst:
df/dx = 6f/6x
, was doch zur Konsequenz hätte, das d = 6 und damit df = 6f etc. Das ist doch nicht der Fall.
Mein Problem ist also, wann darf ich so mit Ableitungen jonglieren, wann darf ich es nicht und warum?
(Oje, hoffentlich ist diese Frage nicht Thema von 2 Vorlesungen)
Viele Grüße
Bernhard
Hallo Bernhard,
Ja darf man das denn? Es gibt doch mit Sicherheit Fälle, wo
man nicht einfach so mit Ableitungen multiplizieren und
dividieren kann. Beispiel
(Im Folgenden schreibe ich die partielle Ableitung mit 6 )
Wie? Die Ziffer 6 steht fuer eine partielle Ableitung? Aber nehme ich mal an, ich verstehe wie Du es meinst, da ist nur eine Konstante mit Wert „6“.
Es gilt:
df = 6f/6x *dx
Ist dasselbe wie df/dx=f/x oder df=f/x *dx
Hier darf ich glaube ich nicht durch dx dividieren, denn
sonst:
df/dx = 6f/6x
, was doch zur Konsequenz hätte, das d = 6 und damit df = 6f
etc. Das ist doch nicht der Fall.
Nein, das „d“ ist gewissermassen ein Operator. Man kann und darf nun nicht hingehen und x und f wegkuerzen, wenn davor ein „d“ steht.
Mein Problem ist also, wann darf ich so mit Ableitungen
jonglieren, wann darf ich es nicht und warum?
wie gesagt, ein dx ist nicht trennbar hier, ein df/dx ist die totale Ableitung der Funktion f nach x („gerades d“). wenn ich jetzt ein „rundes“ d schreiben koennte waere oder stattdessen d’, so ist d’f/d’x die partielle ableitung der funktion f nach der variablen x. Aber man kann hier nicht „wegkuerzen“ wo eine differntial steht, jedenfalls nicht so, wie ich meine es verstanden zu haben was Du meinst.
Viele Gruesse, Peter
Wo meine Wortwahl evtl aufgrund laenger zurueckliegender Zeit des Studiums evtl nicht der korrekten Nomenklatur entspricht, *g*
Mißverständnis
Hallo Lego und alle anderen Leser,
Ich glaube, hier liegt ein Mißverständnis vor:
(Im Folgenden schreibe ich die partielle Ableitung mit 6 )
Wie? Die Ziffer 6 steht fuer eine partielle Ableitung? Aber
nehme ich mal an, ich verstehe wie Du es meinst, da ist nur
eine Konstante mit Wert „6“.
Nein! Mit 6 meinte ich das „runde d“, den Operator der partiellen Ableitung. Weiter unten in Deinem Artikel schreibst Du das mit d’.
Nein, das „d“ ist gewissermassen ein Operator. Man kann und
darf nun nicht hingehen und x und f wegkuerzen, wenn davor ein
„d“ steht.
okay. Aber es gälte dann doch immer noch, daß (nach Deiner Schreibweise) df=d’f und dx=d’x, wobei das nicht richtig sein kann, oder?
Wo meine Wortwahl evtl aufgrund laenger zurueckliegender Zeit
des Studiums evtl nicht der korrekten Nomenklatur entspricht,
*g*
Och, alles super! Übrigens, Deine Arbeit am Südpol finde ich extrem interessant! Geil!
Nochmal zum Artikel zurück: Ich glaube, ich habe bei der Differentiation 2 grundlegende Probleme
- Ich weiß zwar, was totale und partielle Ableitung sind und in welchem Zusammenhang sie zueinander stehen. Jedoch bemerke ich in dem ganzen Durcheinander in meiner Optikvorlesung, daß ich irgendwann nicht mehr weiß, wann man jetzt das eine und wann das andere benutzt
- Mir sind keine Regeln des Dividieren oder Multiplizierens mit den Differentiationsoperatoren d und d’ bekannt, so daß ich mir nie sicher bin, ob ich jetzt nichts falsch mache, wenn ich damit rechne.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Viele Grüße
Bernhard
Hallo Bernhard,
ein dx ist an sich primitiv ausgedrückt ein Platzhalter für eine infinitesimale (also beliebig kleine) Änderung des Wertes x (also ungleich 0).
Wenn also dy(x)=f’(x)dx dasteht, dann heißt das übersetzt:
Die (kleine) Änderung vom Wert y an der Stelle x ist gleich der Steigung von f (an einer Stelle x) multipliziert mit der (kleinen) Änderung des Wertes x an dieser Funktionsstelle. (kann man sich leicht an einem Steigungsdreieck klarmachen)
Z.B. wenn Du eine Motorkennlinie hast (Leistung über Drehzahl) kannst Du mit dieser Formel bei bekannter Steigung an einem Punkt die Leistungssteigerung bei einer Drehzahlerhöhung ausrechnen.
Du kannst jetzt (da dx/=0!) jederzeit durch diese winzig kleine Änderung auf beiden Seiten teilen und erhälst:
dy/dx=f’(x) was eben genau der Steigung (oder Ableitung von f) entspricht.
Das heißt mit dem obigen Beispiel: Wenn Du an einem Punkt die Änderung der Leistung hast und die Änderung der Drehzahl, dann kannst Du die Steigung der Kurve bestimmen.
Also: An sich kannst Du mit dx nahzu gleich wie mit jeder anderen Variable rechnen.
Problematisch wird es erst bei der zweiten Ableitung, da hier ja d²y/dx² gschrieben wird, was eben nicht (dy*dy)/(dx*dx) ist, sondern d(dy/dx)/dx! Also hier Vorsicht!
Grüße
Jürgen
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Hallo Bernhard,
Ich glaube, hier liegt ein Mißverständnis vor:
Oh, sorry, so etwas dachte ich mir schon, ich wusste nur nicht wo genau ich falsch auslegte hihi 
also nennen wir das vollstaendige differntial d und das partielle differntial d’ (lax formuliert ich weiss winke winke an mathematiker *g*)
und dann hattest du df/dx=d’f/d’x
ja wenn das gilt dann gilt das.
wo das vollstaendige differential der funktion f nach x genau das gleiche liefert als wie nur nach x weil f nur nach der variablen x variiert und nicht andere variablen auch noch variieren und sogar noch xi von xi+m abhaengt.
wo sagen wir u = f ( x1, x2, …, xi, …, xn)
und das partielle differential definiert ist als
d(xi)u=d(x)f=d’u/d’x(i)*dx (in klammern soll hier alles index sein)
und das vollstaendige differential ist dann
du=d’u/d’x1*dx1 + d’u/d’x2 * dx2 + … n
*g*
Och, alles super! Übrigens, Deine Arbeit am Südpol finde ich
extrem interessant! Geil!
kalt und experimenalphysik und einmal dort gewesen sein reicht fast allen als das sie nicht noch mal begeistert sind *g*, und dummerweise sitze oder besser sass ich bis vor kurzem in der miesesten arbeitsgruppe der ganzen kollaboration, aber so hat man auf treffen des internationalen experimentes viel zu lachen aus dem naehkaestchen und alle hoeren amuesiert zu, wenn der chef nicht da ist lol
Nochmal zum Artikel zurück: Ich glaube, ich habe bei der
Differentiation 2 grundlegende Probleme
- Ich weiß zwar, was totale und partielle Ableitung sind und
in welchem Zusammenhang sie zueinander stehen. Jedoch bemerke
ich in dem ganzen Durcheinander in meiner Optikvorlesung, daß
ich irgendwann nicht mehr weiß, wann man jetzt das eine und
wann das andere benutzt
worum geht es denn genau dort? ups jetzt habe ich schon die definitionen hingeschrieben aber die kennst du ja *schaem*
- Mir sind keine Regeln des Dividieren oder Multiplizierens
mit den Differentiationsoperatoren d und d’ bekannt, so daß
ich mir nie sicher bin, ob ich jetzt nichts falsch mache, wenn
ich damit rechne.
naja das: „Differentiationsoperatoren d und d’“ ist lax formuliert. wenn du einen ausdruck hast, df/dx oder so, dann darf man schon dividieren etc, nur aufpassen wo was null wird wie ueblich.
bzw. wenn du eine ableitung hast df/dx=g(x), dann durch multipliaktion df=g(x)*dx und dann integrieren auf beiden seiten ist integral ueber df gleich f = integral ueber {g(x)dx} = …
aber aehm ohne konkretes in aufgabenstellung moechte ich doch an vorlesung oder lehrbuecher verweisen. als nachschlagewerknatuerlich immer „bronstein - semendjajew“ jetzt bei verlag harry deutsch
viele gruesse, peter