In den Ingenieurswissenschaften und soweit ich weiß auch in der BWL (dort Regressionsanalyse genannt) wird gern die Methode der kleinsten Fehlerquadrate verwendet um eine Menge an Versuchsdaten mit möglichst geringem (quadratischen) Fehler als Funktion zu nähern.
Meine Frage ist: warum sind gerade die Quadrate so beliebt?? Wieso minimiert man nicht die Absolutfehler?
Hat es evtl. etwas mit der quadratischen Abhängigkeit von Varianz und Standardabweichung zu tun? Falls ja, welche Vorteile bieten die Quadrate in diesem Fall gegenüber den Absolutwerten?
In den Ingenieurswissenschaften und soweit ich weiß auch in
der BWL (dort Regressionsanalyse genannt) wird gern die
Methode der kleinsten Fehlerquadrate verwendet um eine Menge
an Versuchsdaten mit möglichst geringem (quadratischen) Fehler
als Funktion zu nähern.
Das gilt für alle Disziplinen.
Quadratesummen als Streuungsmass fügen sich lückenlos in das mathematische Gesamtgebäude ein.
Alles Andere wären „Insellösungen“, die dem mathematisch weniger Versierten zwar einsichtiger erscheinen mögen, aber man kann nicht gescheit damit rechnen.
Meine Frage ist: warum sind gerade die Quadrate so beliebt??
Wieso minimiert man nicht die Absolutfehler?
Abweichungsquadrate sind mathematisch einfacher zu handhaben als absolute Abweichungen.
Das Kleinstequadrate-Kriterium ist - trotz seiner Beliebtheit - aber bei weitem nicht das einzige Kriterium, das man für bestimmte Aufgaben wie z.B. die Parameterschätzung bei einer linearen Regression einsetzt. Ein anderes sehr häufig verwendetes Kriterium ist die Maximum-Likelihood-Methode.
Quadratesummen als Streuungsmass fügen sich lückenlos in das
mathematische Gesamtgebäude ein.
Danke - das klingt plausibel. Aber ich werde dennoch die Verwunderung nicht los, dass Absolutwerte scheinbar nicht benutzt werden. Wären sie nicht „genauer“?
Hallo,
ich bin zwar nur Laie und verstehe wenig vom lückenlosen Gesamtgebäude, meine aber das die Summation der vorzeichenbehafteten Absolutfehler mehr Probleme macht als die der immer positiven Fehlerquadrate.
greetings s.
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ich bin zwar nur Laie und verstehe wenig vom lückenlosen
Gesamtgebäude, meine aber das die Summation der
vorzeichenbehafteten Absolutfehler mehr Probleme macht als die
der immer positiven Fehlerquadrate.
naja, man würde dann natürlich die Beträge der Fehler nehmen. Im Prinzip geht das auch, und oft bekommt man auch ähnliche Ergebnisse wie mit den Quadraten.
Der Hintergrund der Methode der kleinsten Fehlerquadrate ist der: Wenn man voraussetzen kann, dass die Fehler gaussförmig verteilt sind (Normalverteilung), dann sind die mit dieser Methode erhaltenen Ergebnisse auch die wahrscheinlichsten. Insofern führt die Maximum-Likelihood-Methode bei normalverteilten Fehlern zur Methode der kleinsten Fehlerquadrate.
Wenn ich das Fehlerquadrat minimiert habe, so hat wegen der (abschnittweisen) Monotonie der Quadratfunktion auch der Absolutbetrag des Fehlers ein Minimum. => Es funktioniert
Das Minimieren des Quadrates ist mathematisch wesentlich leichter, da bei Verfahren zum Minimieren Ableitungen auftreten und die Betragsfunktion bei 0 nicht differnzierbar ist (linksseitiger Differenzenquotient hat anderen Grenzwert als der rechtsseitige!), die Quadratfunktion aber differnzierbar ist! => Es ist einfacher!
Gruß
Ted
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