Angenommen ich habe das Polynom durch den Linearfaktor geteilt (Polynomdivision), was nun? Was kann ich jetzt mit der Lösung anfangen?
Angenommen ich habe das Polynom durch den Linearfaktor geteilt
(Polynomdivision), was nun? Was kann ich jetzt mit der Lösung
anfangen?
Hi Patrick,
es hängt natürlich vom Zusammenhang ab, wofür man eine Polynomdivision braucht.
Hier ein einfaches Beispiel zum Lösen von kubischen Gleichungen:
Wir möchten die Gleichung :
x³-2x²-5x = -6
lösen.
=> wir suchen die Nullstellen des Polynoms p(x)=x³-2x²-5x+6
d.h. für welche x gilt p(x)=0 ?
Da es nicht so einfach ist, kubische Gleichungen aufzulösen, kann man vielleicht eine Lösung im Vorraus „erraten“.
In diesem Fall errate ich zB x=1, also p(1)=0.
Der Linearfaktor (x-1) repräsentiert diese Nullstelle und es gilt:
x³-2x²-5x+6 = (x-1)*Q(x)
daraus folgt
Q(x) = (x³-2x²-5x+6)
x-1) = x²-x-6
Nun kann man die einfachere Quadratische Gleichung x²-x-6=0 einfach nach x auflösen (pq-Formel) und erhält x1=-2 und x2=3 als weitere Nullstellen (Dies sind insbesondere Lösungen der Ausgangsgleichung)
Ferner läßt sich weiterhin p(x) in folgende Linearfaktoren zerlegen:
x³-2x-5x+6 = (x-1)(x+2)(x-3)
Ich hoffe, daß diese Info einigermaßen ausreicht.
mfG
-)
Frank
Angenommen ich habe das Polynom durch den Linearfaktor geteilt
(Polynomdivision), was nun? Was kann ich jetzt mit der Lösung
anfangen?
Moin!
Die Polynomdivision ist einfach, was der Name sagt: Polynome teilen. Das praktische daran ist, daß es der schriftlichen Division, wie wir sie von der Schule her kennen sehr ähnlich und damit recht einfach ist.
Wenn ich dich aber richtig verstehe, dann willst du wissen, was dir ein Linearfaktor nützt.
Ist ein beliebiges Polynom
f(x) = SUMME(i=0 bis n)(kixi)
gegeben (mit ki aus C, dann ist es stets möglich, f(x) in m Linearfaktoren der Gestalt (x-c) zu zerlegen, wobei c aus C ist [Fundamentalsatz der Algebra]. Das bedeutet konkret:
f(x) = (x-c1)^p1*…(x-cm)^pm mit p1+…+pm = n
pi wird dabei als Vielfachheit bezeichnet, also wie oft der Faktor (x-ci) in f(x) vorkommt.
Das praktische an Linearfaktoren (wie Frank schon gezeigt hat) ist die Einfachheit, mit denen man die Nullstellen ablesen kann: Mit jedem Linearfaktor, den man ausklammert, schwindet die Anzahl der noch verbleibenden Nullstellen und das Berechnen der fehlenden wird zusehens einfacher.
Ein Problem gibt es allerdings, und zwar dann, wenn oben nicht C von der R betrachtet wird. Dann klappt es mit der Auflösbarkeit von f(x) in Linearkatoren vom Grad 1 ( pi=1) mitunter nicht mehr (beliebtes Beispiel: f(x) = x^2+1. In C ergibt sich f(x) = (x+i)*(x-i), in R jedoch gibt es keine Nullstelle). Deshalb muß die Aussage oben ein wenig abgewandelt werden:
Ist ein beliebiges Polynom
f(x) = SUMME(i=0 bis n)(kixi)
gegeben (mit ki aus C, dann ist es stets möglich, f(x) in m Linearfaktoren der Gestalt (x-c) zu zerlegen, wobei c aus C ist und es gibt ein Polynom h(x) mit Koeffizienten aus R, so daß gilt:
f(x) = h(x)*(x-c1)^p1*…(x-cm)^pm mit p1+…+pm = n
Im Fazit ist es also so, wie Frank es schon vorgerechnet hat:
Kennst du eine Nullstelle deines Polynoms, dann kannst du diese ausklammern und mußt nur noch die Nullstellen des Restes herausfinden. In R jedoch kann das zu besagtem h(x) führen, daß nicht weiter zerlegt werden kann (also auch keine Nullstellen hat).
Gruß Tyll