Hallo Kai,
Aber was genau ist mit Population gemeint.???
Der Begriff „Population“ (Grundgesamtheit) ist die statistische Bezeichnung für die Gesamtheit aller denkbaren Merkmalsträger. Der Erwartungswert ist der „Mittelwert“ des Merkmals in der Population.
Beispiel:
Angenommen, Du willst wissen, wie groß deutsche Medizinstudierende, die im WS2003/04 an deutschen Universitäten studieren, im Durchschnitt sind. Dann bezieht sich Deine Frage nicht nur auf die deutschen Medizinstudierenden Deines Semesters in Deiner Stadt, sondern eben auf alle deutschen Medizinstudierenden, die im WS2003/04 an deutschen Universitäten studieren. Diese Menge ist die Population. Da es sehr aufwendig wäre, alle Körpergrößen aller Mitglieder dieser Population zu erfassen, zieht man eine (zufällige) Stichprobe aus dieser Population, berechnet den Mittelwert und verwendet ihn als Schätzer für den Erwartungswert.
Wir sammelten für unsere Berechnungen im Unterricht sämtliche
Körpergrößen und berechneten daraus alle Werte.
Um die Werte interpretieren zu können, mußt Du klären, auf welche Population Du Rückschlüsse ziehen willst. Wenn Du z.B. nur Daten von Personen hast, die im ersten Semester an Deiner Uni studieren, dann kannst Du nur Rückschlüsse auf die Population der Erstsemester an Deiner Uni ziehen. Wenn Du dagegen z.B. Daten von Personen hast, die an Deiner Uni studieren und männlich sind, wobei aber alle Semester vertreten sind, dann kannst Du Aussagen über die Population männlicher Studierender an Deiner Uni machen, jedoch umfaßt die Population alle Semester.
Also, nur ob ich es verstanden habe:
Wenn ich z.B. 20 Messungen mache und den Erwartungswert
ausrechne. So weiß ich damit, dass die nächsten 100 Messungen
in diesem berechneten Intervall sein müssen. Ja?
Nein. Der Erwartungswert ist eine Populationsgröße - ein sogenannter Parameter. Parameter sind theoretische Werte, die man meistens nicht bestimmen kann, z.B. weil es zu aufwendig wäre, alle Merkmalsträger (z.B. alle Deutschen, alle Menschen) zu erfassen, oder weil die Population Merkmalsträger umfaßt, die es nicht mehr gibt und die man deshalb nicht mehr vermessen kann (wenn man z.B. am Durchschnitt des Geburtsgewichtes aller zwischen 1939 und 1945 geborenen Kinder interessiert ist - diese Säuglinge gibt es nicht mehr, weil sie jetzt Erwachsene oder tot sind, und man kann deshalb ihr Geburtsgewicht nicht mehr messen. Man müßte also Daten der Kliniken heranziehen, aber damals gab es noch viele Hausgeburten).
Weil es diese Schwierigkeiten bei der Bestimmung von Populationsgrößen - Parameter - gibt, zieht man eine Stichprobe aus der Population und berechnet einen Schätzer für den Parameter. Wenn man am Erwartungswert interessiert ist, dann berechnet man den Mittelwert, weil der Mittelwert der beste Schätzer für den Erwartungswert ist. Allerdings ist der Mittelwert nur ein Schätzer und man kann mit seiner Schätzung weit daneben liegen. Deshalb kann man ein Vertrauensintervall berechnen, indem man vom Mittelwert den Standardfehler abzieht (untere Intervallgrenze) bzw. den Standardfehler zum Mittelwert addiert (obere Intervallgrenze). Wenn man das getan hat, dann hat man ein Intervall, von dem man weiß, daß es mit ca. 68%iger Wahrscheinlichkeit den Erwartungswert enthält. Der Grund liegt darin, daß wenn man unendlich viele Stichproben zöge und jedes Mal Vertrauensintervalle nach der obigen Regel bildete, in ca. 68% der Fälle die Vertrauensintervalle den Erwartungswert enthielten.
Beispiel:
Angenommen, Du hättest bei 500 Leuten die Körpergröße gemessen. Der Mittelwert betrüge 173,9 cm und der Standardfehler 0,29 cm. Dann hätte das 68%-Vertrauensintervall die Grenzen 173,61 cm und 174,19 cm.
Diese Daten kannst Du berechnen und Du kannst Dir sagen: „Mein bester Schätzer für den Erwartungswert (für den „wahren Mittelwert“ der Körpergröße in meiner Population) lautet 173,9 cm. Ich bin mir, weil ich nur einen Schätzer habe, nicht sicher, daß der Erwartungswert tatsächlich 173,9 cm beträgt, aber ich kann mit 68%iger Sicherheit sagen, daß der Erwartungswert zwischen 173,61 cm und 174,19 cm liegt. Damit weiß ich zwar immer noch nicht, wie groß der Erwartungswert tatsächlich ist, aber ich habe den besten Schätzer, den Mittelwert, und einen Bereich bestimmt, in dem der Erwartungswert mit hoher Wahrscheinlichkeit liegen wird.“
BTW: Man kann auch Vertrauensintervalle berechnen, in denen der Erwartungswert mit einer anderen als der Wahrscheinlichkeit von 68% liegt, z.B. ein 95%-Vertrauensintervall (Mittelwert +/- 1,96*Standardfehler).
Jetzt alles klar?
Gruß,
Oliver Walter