Hallo,
ich habe eine Frage zu einer Gleichung, und zwar habe ein Physikbuch in dem steht, dass die Augenblicksgeschwindigkeit mit der Gleichung
v= lim* delta s /delta t berechnet wird.
Ich finde aber in dem gesammten Buch keine Erklärung, was genau lim bedeutet und warum steht es in dieser Gleichung?
Auch hallo.
Ich finde aber in dem gesammten Buch keine Erklärung, was
genau lim bedeutet und warum steht es in dieser Gleichung?
lim steht für Limes (dt. Grenzwert). Die Gleichung geht gegen einen solchen.
mfg M.L.
und was bedeutet das genau? Das delta s/ delta t gegen null geht?
Hallo erstmal.
und was bedeutet das genau? Das delta s/ delta t gegen null
geht?
Limes ist ein x-beliebiger Grenzwert, nicht zwangsläufig die Null
mfg M.L.
Hallo,
wie schon geschrieben heißt lim (=limes) einfach nur so viel wie Grenzwert (* ist im Übrigen überflüssig:smile: ).
In deinem konkreten Beispiel heißt das im Klartext folgendes:
delta s ist die differenz der position des fahrzeugs zu zwei zeitpunkten, d.h. wenn das auto bei t1 bei 3m ist und bei t2 bei 10m, dann ist delta s 7m.
delta t ist die zeit, die fahrzeug vom einen punkt zum zweiten braucht; bezogen aufs obere beispiel: für t1 = 1s und t2=5s -> delta t 4s
Teilst du nun delta s durch delta t ergibt sich die Durchschnittsgeschwindigkeit, die das fahrzeug in der Zeit von Sekunde 1 bis 5 hatte. Eben Weg pro Zeit 
In dem Fall ergibt sich 1,75 m/s.
Nun willst du aber die Momentangeschwindigkeit bei 3,232 Sekunden haben. Also beginnt man -veranschaulicht- die Zeitpunkte t1 und t2 (mit der jeweils dazugehörigen gefahrenen Strecke) immer näher an 3,232 Sekunden heran zu rücken.
Du wählst zum Beispiel t1=3s und t2=3,5s und die dazu gehörigen Wegstrecken seien 4m und 5m. Dann teilst du wieder delta s und durch delta t und erhälst als Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen t1 und t2 2m/s! Aha! Also schon ein anderer Wert als oben.
Beim nächsten Mal rückst du noch näher an 3,232s heran. Zb. mit 3,2 und 3,3. Die dazugehörigen Wegstrecken hast du mit 4,1 und 4,5m gemessen. Delta s durch t ergibt jetzt dieses kleine intervall Delta t von 0,1s eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 4m/s!
Das kannst du jetzt immer öfter machen und t1 und t2 und die entsprechende Wegstrecke immer näher an 3,232 heran rücken.
Wenn du bei t1=3,23111119 und t2=3,23200001 angekommen bist, dann kannst du die Durschnittsgeschwindigkeit in diesem Zeitintervall berechnen.
Und das kann man wohl ohne schlechtes Gewissen mit der Momentangeschwindigkeit in 3,232s gleichsetzen.
Unterwegs wird dir auffallen, dass sich deine errechneten Durchschnittsgeschwindigkeiten kaum noch von einander unterscheiden. Eben genau deswegen heißt dieser Wert eben Grenzwert oder Limes. Eben weil es die Grenze ist und sich -egal wie nah noch heran rückt- nur noch in der 10^9 stelle hinter dem Komma ändert
Noch simpler lässt sich das ganze natürlich flapsig formulieren als:
Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung der Strecke…
Wenn dein Wegverlauf gegeben ist, meinetwegen s(t)=3t^2+5*ln(t), dann wäre die aktuelle Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t eben genau t eingesetzt in s’(t)
In der Hoffnung mehr geholfen als verwirrt zu haben
VAST
PS: Wenn dein Verlauf des Weges linear ist, dann kannst du diesen Limes- und Delta-Mist auch einfach vergessen und einfach S durch T teilen und du hast deine Geschwindigkeit
hi,
und was bedeutet das genau? Das delta s/ delta t gegen null
geht?
naja: der begriff grenzwert / limes ist nicht ganz leicht zu erklären. er ist einer der zentralen begriffe der differenzial- und integralrechnung, auch des rechnens mit folgen und reihen.
im prinzip bedeutet er umgangssprachlich so was wie „tendenz“, „trend“.
wenn du z.b die folge n/(n+1) ansiehst:
1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6 …
dann „tendiert“ die gegen 1. 1 ist der grenzwert der folge.
die folge (-1)^n * n/(n+1) =
= -1/2, 2/3, -3/4, 4/5, …
hat keine eindeutige tendenz. die einen werte tendieren gegen +1, die anderen gegen -1. sie hat keinen „grenzwert“. man spricht aber immerhin von 2 „häufungspunkten“.
das gilt auch für kontinuierliche verhältnisse. im obigen fall geht das verhältnis aus den differenzen der (zurückgelegten) wege und
der (verstrichenen) zeitdauer gegen einen bestimmten wert, eben den grenzwert. (der bedeutet dann die momentangeschwindigkeit.) zwar werden die differenzen der zeiten immer kleiner („gehen gegen 0“) und ebenso die differenzen der wege, aber ihr verhältnis (quotient) deswegen noch nicht unbedingt. die zahl, gegen die das tendiert, ist der grenzwert / limes.
(rel.) exakt ist für eine funktion f eine zahl a dann ein limes an einer stelle x, wenn für jede noch so kleine positive zahl epsilon eine (evtl. ebenso sehr kleine) zahl delta existiert, sodass für alle argumente, deren abstand von x kleiner als delta ist, gilt, dass ihre funktionswerte von a einen kleineren abstand haben als epsilon.
das ist die mathematische fassung des von mir oben skizzierten begriffs „tendenz“. erfahrungsgemäß ist die definition nicht leicht verständlich.
hth
m.
Hallo,
und was bedeutet das genau? Das delta s/ delta t gegen null geht?
der Clou besteht darin, dass zwar sowohl Δ s als auch Δ t gegen Null gehen, aber das Verhältnis Δ s / Δ t gegen einen endlichen Wert, den sog. Grenzwert geht! Dieser Wert ist es, was limΔ t→0 Δ s / Δ t bezeichnet, falls er existiert.
Gruß
Martin
Das kannst du jetzt immer öfter machen und t1 und t2 und die
entsprechende Wegstrecke immer näher an 3,232 heran rücken.
Wenn du bei t1=3,23111119 und t2=3,23200001
Korrektur: 3,2319999999 aber sonst eine gute Erklärung 
MOD: Überflüssiges Vollzitat gekürzt.