Was ist der Unterschied zwischen einer

Wissenschaft Mathematik
#1

… Definition und einem Axiom?

Als Nichtmathematiker ist mir das einfach unverständlich, denn sowohl eine Definition als auch ein Axiom werden ja beweislos angenommen.

Ich habe das bisher so verstanden: Eine Definition gibt direkt an, was etwas ist, zum Beispiel: Ein Punkt ist, was keine Teile hat.

Dagegen besagt ein Axiom nur, was man damit „machen“ kann: Jede zwei Punkte lassen sich eindeutig mit einer Strecke verbinden.

Alles schön und gut. Aber kann man denn nicht jedes Postulat in eine Definition umwandeln? Zum Beispiel kann man über eine Strecke sagen: Eine Strecke >>ist

#2

… Definition und einem Axiom?

Als Nichtmathematiker ist mir das einfach unverständlich, denn
sowohl eine Definition als auch ein Axiom werden ja beweislos
angenommen.

Eine Definition wird festgesetzt, ist also das Resultat einer Entscheidung und ein Axiom ist eine Annahme, also das ((noch) nicht beweisbare) Resultat einer Beobachtung

Ich habe das bisher so verstanden: Eine Definition gibt direkt
an, was etwas ist, zum Beispiel: Ein Punkt ist, was keine
Teile hat.

ein nichtausgedehnter Ort in einem beliebigen Raum, aber ja, eine Definition ist eine „Festsetzung“

Dagegen besagt ein Axiom nur, was man damit „machen“ kann:
Jede zwei Punkte lassen sich eindeutig mit einer Strecke
verbinden.

Man hat noch keine Punkte in keinem Raum gefunden mit denen das nicht klappt, man kann zwar nicht beweisen das es immer klappen muss, aber man nimmt an (Axiom = Annahme), das es mit allen Punkten gehe

Alles schön und gut. Aber kann man denn nicht jedes Postulat
in eine Definition umwandeln? Zum Beispiel kann man über eine
Strecke sagen: Eine Strecke >>ist

#3

Hi,

ein Axiom ist ein „Glaubensgrundsatz“, also innerhalb der Theorie nicht begründbar und von „außerhalb“ motiviert.

In einer Definition werden bekannte Eigenschaften oder Objekte genommen und zu einer neuen Eigenschaft bzw. Objekt zusammengefasst, insbesondere wird ein neuer Name festgelegt. Dabei wird die Theorie, d.h. die Menge der beweisbaren Aussagen, nicht erweitert. Die Formulierung der Aussagen wird nur kürzer.

In einer Programmiersprache würden die Axiome der Syntax der Sprache entsprechen und Definitionen wären Vereinbarungen von Datenstrukturen in einem Programm.

Gruß Lutz

#4

Definition: „Ich bezeichne das jetzt so. Alles, was meine Anforderungen erfüllt, hat diesen Namen.“ oder „Ich nehme mir dieses Ding/diese Bezeichnung und denke mir ein paar lustige Eigenschaften dazu aus.“

Aber kann man denn nicht jedes Postulat in eine Definition umwandeln? Zum Beispiel kann man über eine Strecke sagen: Eine Strecke >>ist