was ist ein Integral/was ein Differenzial?
guten tag,
vom Fakt her ist mir die Definition schon geläufig. aber da ich das noch nicht kenne, möchte ich gerne wissen, ob
das Differenzial - zeichen / Integralzeichen eine Rechnungsmethode anfordert, wie es zb. ein Multiplikations oder Summationszeichen anfordert.
was tut man da GENAU mit dem Zeichen, was erfordert das Zeichen fuer Rechenoperationen?
danke.
das Differenzial - zeichen / Integralzeichen eine
Rechnungsmethode anfordert, wie es zb. ein Multiplikations
oder Summationszeichen anfordert.was tut man da GENAU mit dem Zeichen, was erfordert das
Zeichen fuer Rechenoperationen?
Wenn du _genau_ wissen willst, was ein Differential ist, dann würde ich dir ein Buch fürs Mathe-Grundstudium empfehlen!
Ich will’s aber auch mal so probieren. Differential- und Integralzeichen sind zunächst einmal Symbole, die Mathematiker benutzen, um einen bestimmten, definierten Zusammenhang abzukürzen. Das ist dasselbe wie mit „+“, „-“ oder der Auswertung einer Funktion an einer Stelle.
Addition und Subtraktion sind in additiven Ringen erklärt. Multiplikation und Division in multiplikativen. Die Auswertung einer Funktion f an einer Stelle x ist so definiert, daß f eine Funktion ist, die an der Stelle x definiert ist und dort den Wert f(x) hat.
Mit Integration und Differentiation verhält es sich etwas komplizierter. Differentialoperatoren wir die „Ableitung nach x“ (in Symbolen häufig mit d/dx abgekürzt) bilden eigentlich Funktionenräume auf andere Funktionenräume ab, die aber nicht notwendigerweise voneinander verschieden sein müssen.
Beispiel: Du hast die Funktion f mit f(x) = x^3. Diese Funktion ist zum Beispiel im Funktionenraum C^(inf), was heißt, sie ist stetig und sogar unendlich oft differenzierbar. Wenn wir nun das Differential von f bilden, geschrieben df/dx oder f’, dann haben wir f’(x) = 3 * x^2. Auch diese Funktion ist unendlich oft differenzierbar. Damit schickt der Ableitungsoperator d/dx in diesem Beispiel Funktionen aus C^(inf) nach C^(inf).
Das sieht jetzt zunächst mal so aus, als wäre das unnötig kompliziert. Ist es an dieser Stelle auch, aber das wird alles sehr notwendig, wenn man die Bedingungen an Funktionen lockert. Da gibt es dann Funktionenräume, in denen man nicht mehr stark (d.h. wie oben) ableiten kann, Man kann Funktionenräume mit halben Ableitungen definieren (die sogar Sinn machen), und so weiter.
Wie man Gleichungen in sogenannten „Unbekannten“ formulieren kann, z.B. 3*x^2 + 2 = 0, kann man auch Gleichungen in Funktionen formulieren, z.b. g(2 * x + 1) = x, wobei g gesucht ist, nicht x. Des weiteren kann man Gleichungen in Differentialoperatoren formulieren, d.B. d/dt f + f = 0. Auch hier ist eine Funktion gesucht, die aber mit ihren Ableitungen in der Gleichung vorkommt; solche Gleichungen nennt man „gewöhnliche Differentialgleichungen“ oder ODE (Ordinary Differential Equations). Das geht im übrigen auch für Funktionen mit mehreren Veränderlichen, z.b. mit f : R^2 -> R und (d/dx)^2 f + (d/dy)^2 f = 0 (Gebiet, Randwerte und zugrundeliegende Funktionenräume will ich hier mal weglassen). Die heißen dann „partielle Differentialgleichungen“ oder PDEs (Partial Differential Equations). Diese allgemein zu behandeln ist mitunter extrem schwer.
Die Umkehrung von Differentiation ist Integration. Das Lösen von Differentialgleichungen egal welchen Typs bezeichnet man daher auch als Integration.
Das Integralzeichen ist also der Lösungsoperator für eine Differentialgleichung: Integral(f) = „Löse die Differentialgleichung g’ = f bei bekannten f nach g auf“.
Noch da? 
Für den Hausgebrauch reicht es letztlich zu wissen, daß Integration sowas wie die Fläche unter einer Funktion ist. Aber du wolltest es ja genau wissen.
Wenn du’s noch genauer wissen willst, kann ich mal meine alten Bücher 'rauskramen.
Chris
ich danke dir chris, es war eine hervorragende ausfüherliche erklärung, sicherlich fallen mir dazu noch diese oder jene frage ein.
wie gesagt hervorragend!
gruss dirk