Was meint ihr dazu?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo community,

ich trage mal zwei Seiten eines Problems vor.

Problem: Ein Ehepaar hat N Kinder, N-1 sind Söhne. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Nte Kind ein Sohn ist?

Argumentation A: Binomialverteilung

Die N Kinder sind binormialverteilt. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Nte Kind ein Sohn ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass alle N Kinder Söhne sind, also: p(N Söhne) = (p(Sohn))^N = (1/2)^N und die Wahrscheinlichkeit, dass N-1 Kinder Söhne sind p(N-1 Söhne) = (N über (N-1)) (1/2)^(N-1)*(1/2)^1 = (N!/N-1!1!)*(1/2)^N = N*(1/2)^N = N*p(N Söhne).

Also ist die Wahrscheinlichkeit, N mal so hoch und die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich 1. Daraus folgt:

p(N-1 Söhne) = N-1/N p(N Söhne) = 1/N.

Argumentation B: Einzelfallbetrachtung

Die N Kinder sind binormialverteilt. Jedoch weiß ich, dass mindestens ein Junge dabei ist. Ich weiß aber nicht, welcher Junge das ist.
Ich muss nur noch 1 mal ziehen, weil ich ja eine Kugel schon habe. Muss ich nun berücksichtigen, welche Kinder das sind? Halten wir es allgemein. An der Stelle k sollen wir ziehen, die restlichen N-1 Stellen sind besetzt und diese Besetzung hat die Wahrscheinlichkeit 1.
Wir nehmen also an, an der Stelle k befinde sich ein Knoten (wir wissen ja die Ergebnisse der anderen Knoten. Diese Knoten haben nur eine(!) Möglichkeit mit der Wahrscheinlichkeit 1.
Also gilt für alle k, dass die Wahrscheinlichkeit, auf den (N-1) Baum und den N Baum zu geraten, 50% sind. Weil die Wahrscheinlichkeiten, davon, auf einem Baum mit der Entscheidung k zu stehen und davon, auf einem Baum mit der Entscheidung k+1 zu stehen, gleich sind, so ist die Gesamtwahrscheinlichkeit also die gewichtete Wahrscheinlichkeit der Bäume. Durch die Information, dass die restlichen N-1 Jungen sind, müssen wir diese Information integrieren und können die Binomialverteilung nicht beibehalten (sie enthält diese Information nicht).
p(N Söhne) = Sum_k^N p(auf Ast k zu sein)*p(N Söhne in k) = 1/2
p(N-1 Söhne) Sum_k^N p(auf Ast k zu sein)*p(N-1 Söhne in k) = 1/2

Also ist die Wahrscheinlichkeit 1/2.

Ich hoffe, ich habe beide Argumentationen möglichst unbefangen und stark präsentiert und bitte darum, echte Ideen (keine Einwürfe, keine Abweichungen, kein beliebtmachendes „Muss das sein?“ sondern bitte zu exakt diesem Thema) mitzuteilen, wer hier warum richtig liegt. Ich finde das mal spannend.

Grüße

Eric

#2

dämliche Stochastik
Ich würde die Wege etwas vereinfachen…

Das Ehepaar und die N-1 Kinder sind schon gegeben.
Die Frage ist also:
Es wird ein Kind geboren (bzw. „gezogen“…). Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es ein Sohn?
Das ist normalerweise als 1/2 vorausgesetzt.

Wenn man die Möglichkeiten aufschreibt, in denen es N Kinder gibt, von denen N-1 Söhne sind, ist bei einer Tochter die Reihenfolge wichtig. Man hat also N Plätze für die Tochter und eine Reihe für den Sohn.
Somit wäre die Wahrscheinlichkeit 1/(N+1).

Und noch 3.
Wie 2., nur dass man die Söhne durchnummeriert bzw. benennt, sodass die Reihenfolge bei einem Nten Sohn auch eine Reihenfolge spielt.
Damit wäre man wieder bei 1/2.

mfg,
Ché Netzer

#3

Hi,

ich versuche mal einen anderen Ansatz:

Wenn ich das richtig verstehe, sind die Kinder alle schon geboren, womit feststeht, ob Tochter oder Sohn. Die Reihenfolge steht ebenfalls fest, ist aber unbekannt.

Es sind N Kinder vorhanden, davon N-1 Söhne. Die Quote der Söhne beträgt also (N-1)/N. Damit sollte dann auch die Wahrscheinlichkeit, dass das an beliebigen Position (hier N), ein Sohn steht, ebenfalls (N-1)/N sein.

Z. B. 3 Kinder, davon 2 Söhne. Die Wahrscheinlichkeit, dass das jüngste Kind ein Sohn ist, liegt bei 2/3.

Falls ich das Problem nicht richtig verstanden habe oder meine Argumenation falsch ist, bitte ich um Feedback.

#4

Hi,

Hallo,

ich versuche mal einen anderen Ansatz:

Wenn ich das richtig verstehe, sind die Kinder alle schon
geboren, womit feststeht, ob Tochter oder Sohn. Die
Reihenfolge steht ebenfalls fest, ist aber unbekannt.

Ja.

Es sind N Kinder vorhanden, davon N-1 Söhne. Die Quote der
Söhne beträgt also (N-1)/N. Damit sollte dann auch die
Wahrscheinlichkeit, dass das an beliebigen Position (hier N),
ein Sohn steht, ebenfalls (N-1)/N sein.

Nein, es sind N Kinder vorhanden, von denen mindestens N-1 Söhne sind. Die Quote beträgt also N-1/N oder N/N.
Ja, die Wahrscheinlichkeit für die Position ist dann N-1/N bzw N/N. Es geht aber darum: Kann ich aus der Tatsache, dass N-1 Söhne da sind eine erhöhte Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass das Nte Kind eine Tochter ist? Ich zeige dir eine Schnur, die ich durch Ziehen aus einem 50% Sack mit 10 weißen oder schwarzen Perlen aufgefüllt habe. Ich zeige dir 9 schwarze, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zehnte weiß ist?

Z. B. 3 Kinder, davon 2 Söhne. Die Wahrscheinlichkeit, dass
das jüngste Kind ein Sohn ist, liegt bei 2/3.

richtig, aber: anderes Problem. siehe oben.

Falls ich das Problem nicht richtig verstanden habe oder meine
Argumenation falsch ist, bitte ich um Feedback.

Argumentation richtig, Problem ein anderes.

Grüße

Eric

#5

Ich zeige dir eine Schnur,
die ich durch Ziehen aus einem 50% Sack mit 10 weißen oder
schwarzen Perlen aufgefüllt habe. Ich zeige dir 9 schwarze,
wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zehnte weiß ist?

Ich bin zwar momentan zu faul, näher darüber nachzudenken (später…), aber ich würde eher unendlich viele weiße und „gleich unendlich viele“ schwarze Kugeln/Perlen in den Sack werfen…

mfg,
Ché Netzer

#6

Hallo,

Nein, es sind N Kinder vorhanden, von denen mindestens N-1
Söhne sind. Die Quote beträgt also N-1/N oder N/N.

Das widerspricht deiner ursprünglichen Frage. Sind es nun genau N-1 oder mindestens N-1 Söhne? Wenn schon alle Kinder geboren sind, sollte doch klar sein, wie viele Söhe es gibt?

#7

Ja, die Frage war etwas unglücklich formuliert.
Die Situation:
Eine Familie hat genau N Kinder. Mindestens N-1 davon sind Söhne.

mfg,
Ché Netzer

#8

Ganz genau. Ich würde es so formulieren:
Es gibt N Kinder von denen N-1 Jungen sind. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Nte Kind, von dem wir halt nicht wissen, ob es ein Junge oder ein Mädchen ist, dass es ein Junge, bzw. ein Mädchen ist?

Argumentation A besagt:
p(Ntes Kind Junge) = 1/(N +1) [nicht: p = 1/N]
p(Ntes Kind Mädchen) = N/(N +1) [nicht: p = (N-1)/N]

Argumentation B besagt:
p(Ntes Kind Junge) = 1/2
p(Ntes Kind Mädchen) = 1/2

Grüße Eric

#9

Zwei Korrekturen
Hallo,

Stelle 1:

Hallo community,
Also ist die Wahrscheinlichkeit, N mal so hoch und die Summe
der Wahrscheinlichkeiten gleich 1. Daraus folgt:

p(N-1 Söhne) = N-1/N p(N Söhne) = 1/N.

Korrektur :
p(N-1 Söhne) = N/(N+1) UND p(N Söhne) = 1/(N+1)

Stelle 2:

Argumentation B: Einzelfallbetrachtung
Die N Kinder sind binormialverteilt. Jedoch weiß ich, dass
mindestens ein Junge dabei ist. Ich weiß aber nicht, welcher
Junge das ist.

Korrektur:

Die N Kinder sind binomialverteilt. Jedoch weiß ich, dass
mindestens N-1 Jungen dabei sind. Ich weiß aber nicht, welche
Jungen das sind.

Grüße

Eric

#10

Hallo Che,

danke, dass du die richtige (belegt in vielen Statistikbüchern) Auffassung nun teilst :smile:.
Dem Rest mit dem 1/3 rate ich dringend, daraus eine Doktorthese zu machen. Eine solche Sensation, die geeignet erscheint, die ganze Wissenschaft der Statistik zu revolutionieren, darf der Welt nicht vorenthalten werden.
Stell dir mal vor, für sowas bekäme man glatt eine Fields Medaille. Also, nur weiter so, ihr seid auf dem richtigen Weg.

Grüße

Eric

#11

Hallo,

ich bin noch nicht ganz sicher, ob ich das Problem richtig auffasse. Ich wiederhole es jetzt mal mit konkreten Zahlen:
Ein Ehepaar hat schon 5 Kinder, und alles sind Söhne. Jetzt wird das 6. Kind geboren. Wie groß ist die W., dass es ein Junge ist?

Die Antwort ist 1/2. Bei jeder Geburt ist die W. für einen Jungen 1/2.

Etwas anderes ist die Frage, wie groß die W. ist, dass alle 6 Kinder einer Familie Jungen sind. Die ist erheblich kleiner, nämlich 1/2 hoch 6.

Ist das nicht dasselbe wie die berühmte Roulette-Frage? Wenn 10mal hintereinander rot gefallen ist, wie groß ist die W., dass die nächste Zahl wieder rot ist? Wieder 1/2 (wenn es nur rot oder schwarz gibt).
Als Begründung wird immer gesagt - die Kugel hat kein Gedächtnis.

Gruß
Olaf

#12

Die Frage ist etwas ungenau gestellt.
Hier die (hoffentlich) eindeutige Version:
Eine Familie hat n Kinder.
Mindestens n-1 davon sind Söhne. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist auch das verbliebene Kind ein Sohn?

mfg,
Ché Netzer

1 Like
#13

Mathematik als basisdemokratischer Prozess
Schade nur, dass es ich zu meinen Schulzeiten niemals passiert ist, dass die Mehrheit der Klasse die Klassenarbeiten in Mathematik eine guten Note abgeschlossen hat.

Wahrscheinlich fängt es mit der Suchanfrage nach „Paradoxien“ zusammen, dass es gewisse Fragestellungen gibt, bei klare Mehrheitsmeinungen eben nicht mit der mathematisch korrekten Antwort übereinstimmen.

Viel Spaß noch beim Flamen, Allesquatsch

#14

in Deutsch war ich allerdings weniger gut :smile:
Sorry für die vielen Rechtschreibfehler, die mir beim nochmaligen Lesen ins Auge stechen.

AUTSCH

#15

Viel Spaß noch beim Flamen

Danke, werden wir haben!

mfg,
Ché Netzer

#16

Leute Leute,

Auch hier bin ich der Meinung: fragt bitte mal den Computer. Der wird euch zumindest einen recht guten Wert liefern, wenn ihr den Versuch an die 1000.000 mal durchführt.

Und was er liefert ist: 0.33333333 ~~ 1/3
Vorrausgesetzt ist natürlich ein korrektes Verständniss des Problems und die Fähigkeit das korrekt in ein Computerprogramm umzusetzen.

MfG IGnow

#17

Die Mathematik meint dazu…
Hossa :smile:

Keine der beiden Argumentationen ist korrekt. Wir wissen, dass das Ehepaar genau n Kinder hat. Und wir wissen, dass davon mindestens (n-1) Jungs sind. Also gibt es folgende Kombinationsmöglichkeiten:

  1. Alle n Kinder sind Jungs (=1 Möglichkeit).

  2. Genau eines der n Kinder ist ein Mädchen. Dieses kann als erstes (MJJJJ…), als zweites (JMJJJ…), als drittes (JJMJJ…) und so weiter geboren sein. (=n Möglichkeiten).

Auf Basis unseres Vorwissens gibt es also genau (n+1) mögliche Fälle. In nur einem einzigen Fall ist die Forderung nach n Jungs erfüllt. Da die Wahrscheinlichkeit gleich der Anzahl der günstigen Fälle geteilt durch die Anzahl der möglichen Fälle ist, beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit genau:

\frac{1}{n+1}

Viele Grüße

Hasenfuß

#18

Perfekt, dem ist nichts hinzuzufügen!

MfG IGnow

#19

Naja, er hatte ja mehrere Varianten gehabt - und dabei gab es neben 1/2 auch 1/3. Du müsstest also schon begründen, warum du Variante B ausschließt. Zur Formulierung im anderen Thema:

„Ein Mann hat zwei Kinder. Eines davon ist ein Sohn. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere auch ein Sohn!“

Wie ist der Text zu interpretieren? Im Sinne von „der Mann hat nicht nur Mädchen“ - damit kommt man in der Tat zu 1/3, oder in dem Sinne, das man sich ein Kind herausgesucht und dessen geschlecht bestimmt hat - in dem Fall stimmen natürlich die 1/2.

#20

Die kritischen Fragen
Hallo,

die Vertreter der Auffassung, dass die Wahrscheinlichkeit 1/3 zu 2/3 ist (wie es hier argumentiert wurde oder im Post), sollen sich folgende Fragen vorlegen:

  1. Wieso benutzen sie eine Binomialverteilung mir N Entscheidungen und Wahrscheinlichkeiten von jeweils 50%, wenn sie doch

a) wissen, dass alle Entscheidungen bis auf eine in dem Baum determiniert sind, das heißt die Wahrscheinlichkeit 1 besitzen.

b) die Wahrscheinlichkeit normiert sein muss und dass das Argument, weil innerhalb einer Verteilung B(k,n,p) eine Wahrscheinlichkeit p_1 und eine Wahrscheinlichkeit p_2 so verknüpft sind, dass p_1 = k*p_2, dass in einem anderen Problem P(k,n,p) dann gelten soll: p_1 + p_2 = 1 p_1 = k/(k+1) und p_2 = 1/(k+1)

  1. Die Binomialverteilung wird ja dadurch gekennzeichnet, dass sie eine Verteilung mit fester Wahrscheinlichkeit p ist. Wir haben hier jedoch die Situation dass es ein p_j gibt mit p_j ungleich p_i für alle i ungleich j.

Ich werde nur noch auf sinvolle Posts antworten, die Mentalität, hier durch Wiederholung und Verweigerung und Herablassung eine Argumentation zu gewinnen, werde ich im Weiteren ignorieren.

Grüße

Eric