Was tun?

[Anonym]

Ein unglaublich reicher Industrieller hatte eines Tages bschlossen, einen Teil seines Vermögens bei einer Wette aufs Spiel zu setzen. Er suchte sich als Gegner die n besten Mathematiker seines Landes und richtete an jeden von ihnen den gleichen Brief mit den 2 Bedingungen, unter welchen er bereit war, seine Barschaft gleichmäßig unter ihnen allen aufzuteilen:

1. Genau eine der n kontaktierten Personen müsste ihm innerhalb von 3 Tagen antworten.

2. Die n Personen dürften im Zuge ihrer Entscheidung auf keinem Wege miteinander in Verbindung treten.

Widrigenfalls bliebe das Geld in den Händen des Industriellen. Weiters war noch angegeben, wiviele Personen insgesamt den Brief erhielten.

Nun meine Frage: Wie hatten die Intelligenzler zu entscheiden und welche Gewinnchance hatten sie dabei?

Viel Spaß

Safog

[Max_Willenberg]

Zufallsexperiment
Jeder der Mathematiker muss ein Zufallsexperiment ausführen, bei dem n gleich wahrscheinliche Versuchsausgänge existieren. n muss dabei mit den n aus der Aufgabenstellung übereinstimmen.
Vorher wird einer dieser Versuchsausgänge bestimmt. Sollte dieser geschehen, wird der Mathematiker antworten, wenn nicht lässt er es sein.

Die Chancen richten sich nach den n und können mit dieser Formel errechnet werden:

p(1Antwort) = n!/(n-1)! * 1/n * 1-1/n^n-1

Zumindest ist das meine Meinung

Max (Semiexperte, der schon auf einen Brief wartet)

[Anonym]

p(1Antwort) = n!/(n-1)! * 1/n * 1-1/n^n-1

Damit wäre p in Deiner Lösung die Antwortwahrscheinlichkeit, oder stimmt leider nicht ganz)? Und wie schauts mit der Gewinnwahrscheinschlichkeit aus?

Safog

[Anonym]

Zunächst Zufallsexperiment mit n Ausgangsmöglichkeiten 1*a und
(n-1)*b ; a bedeutet antworten b eben nicht;

Nun zur Gewinnwahrscheinlichkeit :

Wenn der 1te Mathematiker (=M) antwortet sind die Chancen (1*100%
die Chance dass der 2te M nun ebenfalls antwortet beträgt 1/n
sie muss von den 1 abgezogen werden ; also :
p= (1-1/n)*100%
beim3ten M beträgt die Wahrscheinlichkeit dass er den Verlust verursacht ((n-1)/n)*(1/n) sie muss ebenfalls von p abgezogen werden
Wenn man dass nun bis zum Schluss (Nten M) durchzieht erhält man :

p=(1-1/n-(n-1)/n*(1/n)-…(((n-1)/n)^n-1)*(1/n)

oder ???

[DrStupid]

1. Genau eine der n kontaktierten Personen müsste ihm
   innerhalb von 3 Tagen antworten.

2. Die n Personen dürften im Zuge ihrer Entscheidung auf
   keinem Wege miteinander in Verbindung treten.

Da würde ich folgendermaßen rangehen:

Die jeder der n Mathematiker muß mit einer Wahrscheinlichkeit von p antworten. Gewonnen haben sie dann, wenn genau einer antwortet und alle anderen nicht. Diese Wahrscheinlichkeit würde ich spontan auf p_ges = p(1-p)^n-1 schätzen. Die Aufgabe besteht nun darin, diese Wahrscheinlichkeit zu maximieren, was ein Mathematiker dadurch erreicht, daß er p_ges nach p ableitet, Null setzt

p_ges/dp = (1-np)(1-p)^n-2 = 0

und nach p auflöst:

p = 1/n

Die maximale Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt also [(n-1)/n]ⁿ/(n-1).

Praktisch erreicht man das durch ziehen eines Loses aus einem Topf, in dem ein Gewinn und n-1 Nieten sind.

[Anonym]

p = 1/n

Die maximale Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt also
[(n-1)/n]ⁿ/(n-1).

Praktisch erreicht man das durch ziehen eines Loses aus einem
Topf, in dem ein Gewinn und n-1 Nieten sind.

Stimmt genau!

Grüsse Safog

[Anonym]

Stimmt doch nicht ganz!
Dein p_ges von

p_ges= p(1-p)^n-1

berücksichtigt nicht die Permutationen der Mathematiker untereinander und ist daher noch mit „n über 1“ zu multiplizieren. Das ist zum Beispiel leicht bei bloß 2 Mathematikern nachzuprüfen:

p=1/2 ist die individuelle Antwortwahrscheinlichkeit, also gibt es folgende Situationen:

1. M1 antwortet, M2 antwortet nicht
2. M1 antwortet, M2 antwortet
3. M1 antwortet nicht, M2 antwortet nicht
4. M1 antwortet nicht, M2 antwortet

2 dieser 4 Fälle führen zum Erfolg, damit ergibt sich eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/4=1/2. Laut Deinem p_ges würde man aber 1/4 erhalten.

Somit stimmt zwar die errechnete Antwortwahrscheinlichkeit, die maximale Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt aber

p_max=n[(n-1)/n]ⁿ/(n-1).

Dabei erscheint mir persönlich die Form

p_max=(1-1/n)^n-1

übersichtlicher.

Interessantes Detail am Rande:
Was kommt wohl als Gewinnwahrscheinlichkeit raus, wenn die Anzahl der beteiligten Mathematiker gegen unendlich geht?

Grüsse Safog

[Joerg_Rehrmann]

Hallo Safog,
da bist Du meinem Protest gerade noch zuvorgekommen
Ich bin es aber ganz anders angegangen:
wenn also jeder Mathematiker 1 aus k Losen zieht, ist die Antwortwahrscheinlichkeit 1/k
Daraus ergeben sich insgesamt kⁿ Kombinationen
Günstig sind die Kombinationen, bei denen genau einer Antwortet. Bei einer Antwort bleiben jeweils noch (k-1)^(n-1) Kombinationen, bei denen kein anderer antwortet. Bei n Mathematikern macht das n(k-1)^(n-1) günstige Kombinationen.
Daraus ergibt sich w = n(k-1)^(n-1) / kⁿ
Das läßt sich dann umformen zu w = n/k(1-1/k)^(n-1)
genaugenommen müßte man jetzt noch beweisen, das w für k=n maximal ist. Dann ergibt sich auch w = (1-1/n)^(n-1)

Interessantes Detail am Rande:
Was kommt wohl als Gewinnwahrscheinlichkeit raus, wenn die
Anzahl der beteiligten Mathematiker gegen unendlich geht?

wie wär’s mit 1/e ?

Jörg

[Anonym]

Hallo Jörg!

Jetzt stimmts tatsächlich!

Grüsse Safog

[Anonym]

Hallo ist da jemand??
Hallo ihr Experten
Beantwortet mir doch bitte folgende Frage :
Wo ist denn jetzt der Fehler in meiner Berechnung ?
oder kann man sie noch auf das richtige Ergebnis vereinfachen ?

[Anonym]

Zunächst Zufallsexperiment mit n Ausgangsmöglichkeiten 1*a und
(n-1)*b ; a bedeutet antworten b eben nicht;

Nun zur Gewinnwahrscheinlichkeit :

Wenn der 1te Mathematiker (=M) antwortet sind die Chancen
(1*100%
die Chance dass der 2te M nun ebenfalls antwortet beträgt 1/n
sie muss von den 1 abgezogen werden ; also :
p= (1-1/n)*100%
beim3ten M beträgt die Wahrscheinlichkeit dass er den Verlust
verursacht ((n-1)/n)*(1/n) sie muss ebenfalls von p abgezogen
werden
Wenn man dass nun bis zum Schluss (Nten M) durchzieht erhält
man :

p=(1-1/n-(n-1)/n*(1/n)-…(((n-1)/n)^n-1)*(1/n)

Man

oder ???

Hallo Moritz!

Wenn der 1te Mathematiker (=M) antwortet sind die Chancen
(1*100%

M1 antwortet aber nur in einem von n Fällen.

die Chance dass der 2te M nun ebenfalls antwortet beträgt 1/n
sie muss von den 1 abgezogen werden…

Um zu gewinnen, müssen n-1 Mathematiker nicht antworten und 1 schon. Wenn die individuelle Antwortwahrscheinlichkeit mit maximaler Gewinnchance 1/n ist (was aber vorher erst zu beweisen wäre, siehe dazu die Ausführung eines Deiner Co-Autoren), folgt mit dem Multiplikationsgesetz für unabhängige Wahrscheinlichkeiten (alle Bedingungen müssen zugleich erfüllt sein):

p=1/n*(1-1/n)^n-1

Am besten sieht man das Ganze als ein Zufallsexperiment, welches n mal ausgeführt wird und zu einem gewissen Ergebnis führen soll.
Einmal soll geantowrtet werden (Wahrscheinlichkeit 1/n), n-1 soll nicht geantwortet werden (Gegenwahrscheinlichkeit 1-1/n).

Damit ist aber noch nicht berücksichtigt, dass es „n über 1“ Möglichkeiten gibt, aus den n Mathematikern einen auszusuchen der antwortet und n-1, die das nicht tun. Deshalb:

p=(1-1/n)^n-1

Grüsse Safog

[Anonym]

Thanks
Na ja wir sind im LK MAthe mit Stochastik ja noch nicht ganz fertig