Ein unglaublich reicher Industrieller hatte eines Tages bschlossen, einen Teil seines Vermögens bei einer Wette aufs Spiel zu setzen. Er suchte sich als Gegner die n besten Mathematiker seines Landes und richtete an jeden von ihnen den gleichen Brief mit den 2 Bedingungen, unter welchen er bereit war, seine Barschaft gleichmäßig unter ihnen allen aufzuteilen:
Genau eine der n kontaktierten Personen müsste ihm innerhalb von 3 Tagen antworten.
Die n Personen dürften im Zuge ihrer Entscheidung auf keinem Wege miteinander in Verbindung treten.
Widrigenfalls bliebe das Geld in den Händen des Industriellen. Weiters war noch angegeben, wiviele Personen insgesamt den Brief erhielten.
Nun meine Frage: Wie hatten die Intelligenzler zu entscheiden und welche Gewinnchance hatten sie dabei?
Zufallsexperiment
Jeder der Mathematiker muss ein Zufallsexperiment ausführen, bei dem n gleich wahrscheinliche Versuchsausgänge existieren. n muss dabei mit den n aus der Aufgabenstellung übereinstimmen.
Vorher wird einer dieser Versuchsausgänge bestimmt. Sollte dieser geschehen, wird der Mathematiker antworten, wenn nicht lässt er es sein.
Die Chancen richten sich nach den n und können mit dieser Formel errechnet werden:
p(1Antwort) = n!/(n-1)! * 1/n * 1-1/n^n-1
Zumindest ist das meine Meinung
Max (Semiexperte, der schon auf einen Brief wartet)
Zunächst Zufallsexperiment mit n Ausgangsmöglichkeiten 1*a und
(n-1)*b ; a bedeutet antworten b eben nicht;
Nun zur Gewinnwahrscheinlichkeit :
Wenn der 1te Mathematiker (=M) antwortet sind die Chancen (1*100%
die Chance dass der 2te M nun ebenfalls antwortet beträgt 1/n
sie muss von den 1 abgezogen werden ; also :
p= (1-1/n)*100%
beim3ten M beträgt die Wahrscheinlichkeit dass er den Verlust verursacht ((n-1)/n)*(1/n) sie muss ebenfalls von p abgezogen werden
Wenn man dass nun bis zum Schluss (Nten M) durchzieht erhält man :
Genau eine der n kontaktierten Personen müsste ihm
innerhalb von 3 Tagen antworten.
Die n Personen dürften im Zuge ihrer Entscheidung auf
keinem Wege miteinander in Verbindung treten.
Da würde ich folgendermaßen rangehen:
Die jeder der n Mathematiker muß mit einer Wahrscheinlichkeit von p antworten. Gewonnen haben sie dann, wenn genau einer antwortet und alle anderen nicht. Diese Wahrscheinlichkeit würde ich spontan auf pges = p(1-p)n-1 schätzen. Die Aufgabe besteht nun darin, diese Wahrscheinlichkeit zu maximieren, was ein Mathematiker dadurch erreicht, daß er pges nach p ableitet, Null setzt
pges/dp = (1-np)(1-p)n-2 = 0
und nach p auflöst:
p = 1/n
Die maximale Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt also [(n-1)/n]n/(n-1).
Praktisch erreicht man das durch ziehen eines Loses aus einem Topf, in dem ein Gewinn und n-1 Nieten sind.
berücksichtigt nicht die Permutationen der Mathematiker untereinander und ist daher noch mit „n über 1“ zu multiplizieren. Das ist zum Beispiel leicht bei bloß 2 Mathematikern nachzuprüfen:
p=1/2 ist die individuelle Antwortwahrscheinlichkeit, also gibt es folgende Situationen:
M1 antwortet, M2 antwortet nicht
M1 antwortet, M2 antwortet
M1 antwortet nicht, M2 antwortet nicht
M1 antwortet nicht, M2 antwortet
2 dieser 4 Fälle führen zum Erfolg, damit ergibt sich eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/4=1/2. Laut Deinem pges würde man aber 1/4 erhalten.
Somit stimmt zwar die errechnete Antwortwahrscheinlichkeit, die maximale Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt aber
pmax=n[(n-1)/n]n/(n-1).
Dabei erscheint mir persönlich die Form
pmax=(1-1/n)n-1
übersichtlicher.
Interessantes Detail am Rande:
Was kommt wohl als Gewinnwahrscheinlichkeit raus, wenn die Anzahl der beteiligten Mathematiker gegen unendlich geht?
Hallo Safog,
da bist Du meinem Protest gerade noch zuvorgekommen
Ich bin es aber ganz anders angegangen:
wenn also jeder Mathematiker 1 aus k Losen zieht, ist die Antwortwahrscheinlichkeit 1/k
Daraus ergeben sich insgesamt kn Kombinationen
Günstig sind die Kombinationen, bei denen genau einer Antwortet. Bei einer Antwort bleiben jeweils noch (k-1)(n-1) Kombinationen, bei denen kein anderer antwortet. Bei n Mathematikern macht das n(k-1)(n-1) günstige Kombinationen.
Daraus ergibt sich w = n(k-1)(n-1) / kn
Das läßt sich dann umformen zu w = n/k(1-1/k)(n-1)
genaugenommen müßte man jetzt noch beweisen, das w für k=n maximal ist. Dann ergibt sich auch w = (1-1/n)(n-1)
Interessantes Detail am Rande:
Was kommt wohl als Gewinnwahrscheinlichkeit raus, wenn die
Anzahl der beteiligten Mathematiker gegen unendlich geht?
Hallo ist da jemand??
Hallo ihr Experten
Beantwortet mir doch bitte folgende Frage :
Wo ist denn jetzt der Fehler in meiner Berechnung ?
oder kann man sie noch auf das richtige Ergebnis vereinfachen ?
Zunächst Zufallsexperiment mit n Ausgangsmöglichkeiten 1*a und
(n-1)*b ; a bedeutet antworten b eben nicht;
Nun zur Gewinnwahrscheinlichkeit :
Wenn der 1te Mathematiker (=M) antwortet sind die Chancen
(1*100%
die Chance dass der 2te M nun ebenfalls antwortet beträgt 1/n
sie muss von den 1 abgezogen werden ; also :
p= (1-1/n)*100%
beim3ten M beträgt die Wahrscheinlichkeit dass er den Verlust
verursacht ((n-1)/n)*(1/n) sie muss ebenfalls von p abgezogen
werden
Wenn man dass nun bis zum Schluss (Nten M) durchzieht erhält
man :
p=(1-1/n-(n-1)/n*(1/n)-…(((n-1)/n)^n-1)*(1/n)
Man
oder ???
Hallo Moritz!
Wenn der 1te Mathematiker (=M) antwortet sind die Chancen
(1*100%
M1 antwortet aber nur in einem von n Fällen.
die Chance dass der 2te M nun ebenfalls antwortet beträgt 1/n
sie muss von den 1 abgezogen werden…
Um zu gewinnen, müssen n-1 Mathematiker nicht antworten und 1 schon. Wenn die individuelle Antwortwahrscheinlichkeit mit maximaler Gewinnchance 1/n ist (was aber vorher erst zu beweisen wäre, siehe dazu die Ausführung eines Deiner Co-Autoren), folgt mit dem Multiplikationsgesetz für unabhängige Wahrscheinlichkeiten (alle Bedingungen müssen zugleich erfüllt sein):
p=1/n*(1-1/n)n-1
Am besten sieht man das Ganze als ein Zufallsexperiment, welches n mal ausgeführt wird und zu einem gewissen Ergebnis führen soll.
Einmal soll geantowrtet werden (Wahrscheinlichkeit 1/n), n-1 soll nicht geantwortet werden (Gegenwahrscheinlichkeit 1-1/n).
Damit ist aber noch nicht berücksichtigt, dass es „n über 1“ Möglichkeiten gibt, aus den n Mathematikern einen auszusuchen der antwortet und n-1, die das nicht tun. Deshalb:
