Moin, Hagen!
Iregndwie werde ich das Gefühl nicht los, beim Wechsel von der
Gesetzlichen zu einer Privaten einen Riesenfehler zu machen.
[…]
Bitte noch mal alle um Hilfe.
Also, den großen Fehler, den Du möglicherweise begehen könntest, wäre, die Gesetzliche vorzeitig gekündigt zu haben, bevor Dir ein verbindliches Angebot der Privaten vorliegt. (In diesem Falle würde ich sofort einen Weiterversicherungsantrag bei der GKV stellen!)
Verbindlich ist das Angebot dann, wenn die Risikoprüfung bzw. in der KV auch Gesundheitsprüfung genannt, abgeschlossen ist und der Versicherer „das Risko“ tarifieren (kalkulieren) konnte und es Dir in schriftlicher Form zur Unterzeichnung vorlegt.
Ich würde Dir empfehlen, bei - meinetwegen ruhig - drei Privaten KVs je einen sog. „Probeantrag“ einzureichen, vollständige und gewissenhafte Beantwortung aller im Antrag gestellten Fragen (insbes. der zu Gesundheit und Vorerkrankungen!) inklusive. Nenne auch Deinen (langjährigen) Hausarzt, so dass die Versicherung Gelegenheit hat, dort rückzufragen und eine fundierte Auskunft einzuholen…, ggf. auch eine Nachuntersuchung zu veranlassen.
Auf dem Antragsformular sollte ausdrücklich „Probeantrag“ stehen, ggf. auch unter „Zusätzl. Angaben/Besondere Vereinbarungen“.
Suche Dir halt drei der angeblich besten PKVs z.B. bei Stiftung Warentest heraus. (Aber bedenke auch das Preis-/Leistungsverhältnis; „Test“ ist da manchesmal entweder zu oberflächlich auf den Preis fixiert oder klatscht unter seine Tests zu viele Fußnoten, was verwirrt.)
Ich persönlich würde mir dann einen (sog. Klassischen) Versicherungsmakler aus den Gelben Seiten heraussuchen, ggf. auch wiederum zwei oder drei… diese(n) dann befragen, ob er die „obengenannten“ PKVs bedient, und dann (ggf.) zur Tat schreiten!
Muss ich jetzt noch dazu sagen, dass ich bei einem der ersten großen Versicherer für Soldaten/Beamte in der KV gelernt habe und schätzungsweise für rund XXXXXXX D-Mark[1] Risiken geprüft bzw. Versicherungssummen im Durchlauf hatte?
Naja. Macht nix. - Ich hoffe, meine vergangene Erfahrung hat Dir in dieser Form ein wenig weiter geholfen! 
LG, DannyFox64
[1] Betrag gestrichen, weil nur Prahlerei. 
PS: Das Schlimmste, das wem beim Wechsel in die PKV passieren kann, ist, dass der Versicherer (VR) wegen einer lapidar NICHT beantworteten Frage zur Gesundheit vom Vertrag nach ein, zwei Jahren zurücktritt, nachdem der VR merkt, dass er sich ein „schlechtes Risiko“ eingefangen hat. (Die PKV würde nichts mehr bezahlen… und zurück in die Gesetzliche ginge dann auch nicht mehr so ohne weiteres.)
PPS: Weniger schlimm ist ein Riskozuschlag; und schlimm genug eine Ausschlußklausel, z.B. für „Erkrankungen der Wirbelsäule, des Halteapparates und Folgen“. - q.e.d.