Wechselstromaufgabe

Wissenschaft Physik
#1

Ich weiß nicht genau ob das Thema hier reingehört, will es aber dennoch mal versuchen.
Seit etwa einer Woche sitze ich nun an folgender Aufgabe:
Es existieren 2 gegebene Schaltungen.

1: Ein ohmscher Widerstand R1 und eine Spule L sind in Reihe geschaltet.
2: Die gleiche Schaltung, nur das parallel zu der Spule L noch ein weiterer ohmscher Widerstand R2 geschaltet ist.

Nun sollen die Beträge von Z bei beiden Schaltungen gleich sein.
omega, R1 und L sind gegeben.

Mein bisheriger Lösungsansatz:
Z1= WURZEL(R1^2 + omega^2 * L^2)
Z2 (durch konjugiert komplexe Erweiterung erhalten)
WURZEL{ [R1+ (R2*omega^2*L^2) / (omega^2*L^2+R2^2)]^2 + j[(R2^2*omega*L) / (R2^2+omega^2*L^2)]^2}

Müssen diese Beträge nun einfach gleichgesetzt werden, um daraus R2 zu bestimmen? Ich komme da auf keinen grünen Zweig.
Gruss

#2

Hallo,

Es existieren 2 gegebene Schaltungen.
1: Ein ohmscher Widerstand R1 und eine Spule L sind in Reihe
geschaltet.
2: Die gleiche Schaltung, nur das parallel zu der Spule L
noch ein weiterer ohmscher Widerstand R2 geschaltet ist.
Nun sollen die Beträge von Z bei beiden Schaltungen gleich
sein.
omega, R1 und L sind gegeben.
Mein bisheriger Lösungsansatz:
Z1= WURZEL(R1^2 + omega^2 * L^2)
Z2 (durch konjugiert komplexe Erweiterung erhalten)
WURZEL{ [R1+ (R2*omega^2*L^2) / (omega^2*L^2+R2^2)]^2 +
j[(R2^2*omega*L) / (R2^2+omega^2*L^2)]^2}

Weil du so nur die Beträge von Z1 und Z2 ermitteln würdest, fällt das „j“ auch bei Z2 weg. Ansonsten habe ich keinen Fehler entdeckt.

Müssen diese Beträge nun einfach gleichgesetzt werden, um
daraus R2 zu bestimmen?

Ja, das wäre doch naheliegend, wenn die Beträge von Z1 und Z2 gleich groß sein sollen.

Gruß
Pontius

#3

Vielen Dank für die Info.

#4

Hallo,

Ich weiß nicht genau ob das Thema hier reingehört

ist schon richtig in Physik.

Müssen diese Beträge nun einfach gleichgesetzt werden, um
daraus R2 zu bestimmen?

Ja sicher. Du musst das eigentlich nur runterrechnen. Im ständigen Vertrauen darauf, dass die Gleichungen nicht mit jedem Schritt immer monströsere Ausmaße annehmen, sondern sich irgendwo auch mal vereinfachen (sonst Problem nicht übungsaufgabengeeignet).

Die komplexen Widerstände sind

Z_1 = R + jX
\quad\textnormal{und}\quad
Z_2 = R + \frac{r jX}{r + jX}

mit X = ωL. Wenn schon in den Ausgangsgleichungen ω und L überall als Produkt auftreten, dann wird das auch in der gesamten anschließenden Rechnung so sein. Das können wir voraussagen, ohne sie zu kennen. Warum also zwei Buchstaben schreiben, wenn es ein einziger auch tut und dazu nur den halben Platz braucht, besser gelesen und schneller geschrieben werden kann? Bei voluminösen Ausdrücken können solche Abkürzungen enorm vorteilhaft sein. R und r statt R1 und R2 hat natürlich denselben Grund.

Z2 bringst Du in die Form a + jb; Ergebnis:

Z_2 = \frac{1}{Q} \big(R Q + r X^2 + j r^2 X\big)

mit Q = r2 + X2. Jetzt kannst Du die Beträge bilden und gleichsetzen. Das führt auf die Gleichung

(R^2 + X^2) Q^2 = (R Q + r X^2)^2 + (r^2 X)^2

Nachdem Du alle Klammern ausmultipliziert hast, kannst Du auf beiden Seiten einen Term wegstreichen und anschließend durch X2 dividieren. Dann steht da

Q^2 = 2 R Q r + r^2 X^2 + r^4

Klammere auf der rechten Seite r2 aus. Die Klammer ergibt netterweise Q, weshalb Du die Gleichung durch Q dividieren kannst. Jetzt hat Q seine Schuldigkeit getan. Schreib es als r2 + X2. Danach kannst Du den r2-Term auf beiden Seiten wegstreichen. Übrig bleibt X2 = 2 R r. Rest ist klar.

Viel Spaß :smile:

Gruß
Martin