Notation: lim steht für ‚limes x gegen x null‘
Indizes stehen in eckigen Klammern
e steht für ‚Element‘
‚Eine Funktion f heißt an der Stelle x[0] e D stetig, wenn lim f(x) vorhanden ist und mit dem Funktionswert f(x[0]) übereinstimmt.‘
Ausgehend von dieser Definition der Stetigkeit einer Funktion, werden Funktionen, die Definitionslücken aufweisen, an eben diesen Stellen als ‚weder stetig noch unstetig‘ bezeichnet.
Aber wie kann eine Funktion, die an einer Stelle x[0] nicht existiert, dort noch eine Eigenschaft haben? Sie ist doch bei x[0] nicht definiert und kann doch dann da auch nicht ‚irgendwas sein‘ bzw. ‚nichts SEIN‘.
Ausgehend von dieser Definition der Stetigkeit einer Funktion,
werden Funktionen, die Definitionslücken aufweisen, an eben
diesen Stellen als ‚weder stetig noch unstetig‘ bezeichnet.
Aber wie kann eine Funktion, die an einer Stelle x[0] nicht
existiert, dort noch eine Eigenschaft haben? Sie ist doch bei
x[0] nicht definiert und kann doch dann da auch nicht
‚irgendwas sein‘ bzw. ‚nichts SEIN‘.
Für mich macht das schon Sinn. Da ja die Funktion f an der Stelle x[0] keinen Funktionswert hat, macht natürlich die Angabe, daß sie an der Stelle x[0] stetig sei, keinen Sinn. Logisch - f(x[0]) existiert ja nicht. Gleiches kann man für die Unstetigkeit sagen.
Und nichts anderes wird hier behauptet - daß eine Angabe über (Un)Stetigkeit bei x[0] sinnlos ist.
Allerdings kann die Funktion - in einem gewissen Sinne - entgegen deiner Annahme bei x[0] schon Eigenschaften besitzen.
Nimm das Beispiel von
f(x) = (x² - 1) / (x + 1)
== x - 1 für x ungleich -1
Diese Funktion ist wegen der Nullstelle im Nenner bei x = -1 nicht definiert.
TROTZDEM existiert lim f(x) | x-> -1 . Dieser Limes hat den Wert -2. Da der Limes existiert, ist es also möglich, die Funktion f(x) an der Stelle -1 mit dem Wert f(x) = 2 stetig *fortzusetzen*.
Nun kann man sich streiten, ob das eine Eigenschaft von f(x) an der Stelle x=-1. Einerseits kann man behaupten, f(x) sei für x=-1 nicht definiert, jeglich Diskussion sei sinnlos. Andererseits läßt sich f(x) bei x=-1 stetig fortsetzen und insofern kann ich für x=1 Aussagen machen, die f(x) betreffen.
Die Formulierung „weder stetig noch unstetig“ ist mir neu. Ich kann mir aber denken, was damit gemeint ist.
Eine Funktion, die an einer Stelle x_0 nicht definiert ist, kann dort auch nicht stetig sein.
Sie kann jedoch in x_0 stetig fortsetzbar sein, nämlich dann, wenn lim_{x->x_0} f(x) existiert. (Dieser Limes muss dann auch als Funktionswert an dieser Stelle definiert werden.)
Das heißt, mit „weder stetig noch unstetig“ ist wohl „stetig fortsetzbar“ gemeint, während Polstellen zum Beispiel grundsätzlich unstetig, weil nicht stetig fortsetzbar, sind.
