Hallo erstmal,
das Guenstigste wird fuer dich eine Wochenkarte sein und zwar gespeichert auf der sogenannten Oyster Karte. Das ist eine Chipkarte auf die man entweder Geld oder auch Zeitkarten Aufladen kann.
Die Oysterkarte kostet 3 Pfund Pfand, welche man zurueckbekommt wenn man sie wieder zurueck gibt. Alle U-Bahn Haltestellen und alle Busse, Trams und die DLR haben die Lesegeraete dafuer. Holen kannst du dir die Karte an jedem Schalter von TFL (Transport for London), aufladen dann auch am Automaten.
Der Rest ist eine Rechenaufgabe, wenn du nur wirklich wenig faehrst, und zentral z.B. im Hotel wohnst, kann es reichen Bargeld aufzuladen. Solltest du aber in Zone 2, 3 oder noch weiter draussen wohnen, dann unbedingt die Wochenkarte, ansonsten fressen die dich Kosten auf.
Aber auf keinen Fall Einzeltickets kaufen, die sind doppelt so teuer als wenn du deine Oyster Karte benutzt. So kann dich ohne Chipkarte 1 Ubahn Haltestelle in der Innenstadt 4 Pfund kosten. Nicht umsonst gilt die London Underground als das teuerste Verkehrsmittel der Welt 
P.s. Ubahn fahren (oder auch Tube so wie die Londoner sie nennen) ist viel teurer als Bus fahren, aber wer beim Bus fahren umsteigt, zahlt fuer den naechsten Bus nochmal. 
Viel Spass in London
D