Welche leistungen beatragen und wo?

Hallo,
folgender Sachverhalt: eine 18-jährige besucht die Fachoberschule. die Eltern sind geschieden, beide sind erwerbsunfähig. Die 18-jährige lebt bei der Mutter.
Die Mutter lebt von erwerbsunfähigkeitsrente, wohngeld, kindergeld.
den beiden bleiben für den lebensunterhalt nur zusammen 500 (kige eingeschlossen).
Der vater wäre unterhlatspflichtig, kann keinen unterhalt für die 18-jährige zahlen.

Frage: 1. wer zahlt für die Tochter? Jugendamt oder sozialamt?
2. zahlt das amt auch ohne dass die unterhaltspflicht gerichtlich festgestellt wurde?
3. Wie heißt der antrag/das formular, das die tochter ausfüllen muss um von einem Amt Geld zu erhalten?

Die Mutter kann keine aufstockende Grundsicherung beantragen (wegen Wohngeld. Transferleistung), die Tochter kann kein Schüler-Bafög beantragen, weil sie zu Hause wohnt. Wovon soll die Tochter leben? Zahlt das Jugendamt hier auch Unterhalt oder gibt es Hilfe für junge Volljährige auch als Geldleistung?

Vielen Dank