Welche Winkel nicht konstruierbar?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

bekannt ist mir, dass alle regulären n-Ecke mit n gleich Produkt aus Zweierpotenz und fermatschen Primzahlen kontruierbar sind (also z.B. 120° wegen n=3=2hoch0*3,oder (360/68)° wegen n=68=2hoch2*17 usw).
Bekannt ist mir ferner, dass nicht jeder Winkel gedrittelt werden kann.

Nun meine Problem: Ich habe gehört, dass kein Winkel konstruierbar ist, dessen Gradzahl ein Vielfaches von 3 ist? Ist dies ein bewiesener Satz, und wenn ja,steht er in einem Zusammenhang mit den beiden o.g. Sätzen?

Viele Grüße
eaufaso

#2

Hallo,

Nun meine Problem: Ich habe gehört,

Zu hören bekommt man viel.

dass kein Winkel
konstruierbar ist, dessen Gradzahl ein Vielfaches von 3 ist?

Meinst Du jetzt auch Winkel von 30°, 60°, 90° usw.? Diese sind konstruierbar. Selbst das dreifache eines beliebigen Winkels kann konstruiert werden.
Die Gradzahl ist doch irgendwie „willkürlich festgelegt“. Es gibt Systeme mit anderen Werten als 360° für den Vollwinkel.

Ist dies ein bewiesener Satz, und wenn ja,steht er in einem
Zusammenhang mit den beiden o.g. Sätzen?

Ich glaube, Du hast irgendwas falsch verstanden. Frag bitte nochmal dort nach, wo Du das gehört hast.

Gruß
Jörg Zabel

#3

Hallo,
zunächst vielen Dank für Deine Antwort.
Ich muss leider gestehen, dass mir bei meiner Frage ein grobes Versehen unterlaufen ist und mein Problem deshalb längst nicht so trivial ist,wie es zunächst den Anschein haben musste.
Ich korrigiere und präzisiere:
Gibt es einen Satz, nach dem kein Winkel konstruierbar (nur mit Zirkel und Lineal) ist, dessen Gradzahl nicht ein Vielfaches von 3 ist, (bekannt ist mir das für einige Winkel, z.B. 20°, Verallgemeinerung?)
Gruß
beaufaso

#4

Hallo,

Gibt es einen Satz, nach dem kein Winkel konstruierbar (nur
mit Zirkel und Lineal) ist, dessen Gradzahl nicht ein
Vielfaches von 3 ist, (bekannt ist mir das für einige Winkel,
z.B. 20°, Verallgemeinerung?)

Ich verstehe Deinen Denkansatz immer noch nicht.

Ein rechter Winkel ist konstruierbar (90°) Ein Winkel von 60° über ein gleichseitiges Dreieck. Beide Winkel kannst Du so lange wie Du möchtest (theoretisch) halbieren. Damit sind jede Menge weitere Winkel konstruierbar. Irgendwann kann ich auch bei 7,5° sein. Das ist jetzt nicht mehr ohne Rest durch 3 teilbar.

Wo ist jetzt das Problem? Oder reden wir nur aneinander vorbei?

Gruß
Jörg Zabel

#5

Hallo,
wir reden tatsächlich etwas aneinander vorbei.

Dein Beispiel 7,5° taugt nicht, da eine Aussage über Vielfaches von 3 nicht möglich ist (Vielfaches/Teiler sind nach Definition Zusammenhänge zwischen ganzen Zahlen). Da sind noch ganz andere „krumme“ Winkel konstruierbar, z.B. über das reguläre 17-Eck den 17-ten Teil von 360 ° (21,176…).
Nein, der Satz bezieht sich nicht auf solche Winkel.

Mittlerweile bin ich aufgeklärt worden: der Satz ist tatsächlich bewiesen worden (…ja, was man so alles hört…)
Konkret: Es ist unmöglich, einen Winkel zu konstruieren, dessen Gradzahl(ganzzahlig!) kein Vielfaches von 3 ist (heißt natürlich nicht, dass alle anderen Winkel zwingend konstruierbar sein müßten).

Vielen Dank für Dein Interesse und Deine Bemühungen.
beaufaso

#6

Hi,

man kann aus dem gleichseitigen Dreieck alle Vielfachen von 15° konstruieren, also auch 75°, und das gleichseitige Fünfeck liefert den Winkel 72°. Also kann auch die Differenz 3° konstruiert werden und damit trivialerweise alle Vielfachen davon.

Wenn ich mich recht erinnere, waren es nicht mehr als 3 Schachtelungen von Quadratwurzeln in den Formeln, evtl. sogar nur 2, um die Koordinaten für den 3°-Winkel zu bestimmen.

Gruß Lutz

#7

Hallo,
vielen Dank für diese Ergänzung.
Man kann also festhalten (?):
1.alle Winkel mit Vielfachen von 3 : konstruierbar
2. alle anderen nicht konstruierbar.
Gruß
beaufaso

#8

Hallo beaufaso,

1.alle Winkel mit Vielfachen von 3 : konstruierbar
2. alle anderen nicht konstruierbar.

ja, bei Betrachtung von nur Ganzzahlig-Gradzahl-Winkeln.

Eine „Komplettversion“ zu formulieren ist aber auch kein Prob:

(1) 3° und alle ganzzahligen Vielfache davon konstruierbar: 3°, 6°, 9°, 12°, …

(2) alle übrigen n° mit n ganzzahlig nicht konstruierbar: 1°, 2°, 4°, 5°, 7°, 8°, 10°, …

(3) Darüberhinaus unendlich viele Winkel sowohl konstruierbar (z. B. 1.5° oder 0.75° durch Halbierung bzw. Viertelung von 3°, aber auch (360/17)° ist konstruierbar) als auch nicht konstruierbar (z. B. 0.5° oder 0.25°, denn das würde die unmögliche Konstruierbarkeit von 1° implizieren).

Gruß
Martin

#9

Hallo Martin,
Du hast es kurz und präzise, also gut, zusammengefasst.
Dank und Gruß
beaufaso