Ich habe ein Problem mit dem Wellenzahlvektor, bzw. mit
k=2(pi)/(lambda)
In der Quantenmechanik ist ja das 1D-Problem des unendlich tiefen Potentialtopfs sehr bekannt; man überlegt sich, welche Wellenfunktionen (stehende Wellen) da heineinpassen und kommt auch die Bedingung: (lambda)=(pi)/L*n mit n=Natürliche Zahl, bzw:
k=(pi)/L*n
In der Festkörperphysik geht man bei den Elektronen analog vor, aber da erhält man k=2*(pi)/L*n
Das kommt irgendwie daher, dass man für die Wellenfunktionener hier fordert, dass sie außerhalb des Potentialtopfs periodisch ins unendliche fortgesetzt werden und gelten muss psi(x+L)=psi(x)
Damit fallen die Hälfte aller Wellenfunktionen weg, die nach obigem Schema reinpassen würden (die cos-Funktionen), daher hat man auch nur halb so viele Wellenvektoren.
Ok, gut, aber das passt doch nicht zusammen. Oder? Ich meine, es kann doch nur eine Argumentation richtig sein?
Ok, gut, aber das passt doch nicht zusammen. Oder? Ich meine,
es kann doch nur eine Argumentation richtig sein?
So wie ich das sehe, sind das doch auch 2 völlig verschiedene Probleme. Im ersten Fall betrachtet man einen unendlichen Potentialtopf. Im Fall des Elektrons in der Festkörperphysik hat man aber ein ganz anderes Potential, nämlich ein periodisches (zumindest Gitterstrukturen).
Ja, aber die erste Näherung, die man in der Festkörperphysik trifft, ist, das periodische Potential und die Wechselwirkungen unter den Elektronen zu vernachlässigen; man betrachtet also viele nicht-wechselwirkende Elektronen in einem Potentialtopf.
Ich denke, das ist durchaus dasselbe Problem wie beim tiefen Potentialtopf aus den Grundlagen der Quantenmechanik. Dennoch erhält man in der Quantenmechanik alle in den Topf passenden Zustände und damit Lambda_max=Kastenlänge*2
und in der Festkörperphysik wählt man periodische Randbedingungen (Ränder müssen in Phase sein), was die Hälfte aller Zustände killt (mit Lambda_max=Kastenlänge)
Ok, gut, aber das passt doch nicht zusammen. Oder? Ich meine,
es kann doch nur eine Argumentation richtig sein?
Die Annahme der periodischen Randbedingung ändert den physikalsichen Gehalt des Problems bei großen Systemen nicht in grundsätzlicher Hinsicht, sind aber mathematisch viel leichter zu handhaben.
Da bei periodischen Randbedingungen sowohl positive als auch negative Werte von k erlaubt sind (das hast du übersehen), ergibt sich insbesondere auch die gleiche Anzahl an Zuständen.