Wer muss beim Hartz 4-Antrag unterschreiben?

Hallo!
Mein Freund ist seit Jahren von seiner Exfreundin getrennt. Sie haben zusammen gewohnt und sie hatte ohne seines Wissens 2005 einen Hartz 4- Antrag gestellt. Er war immer arbeiten (als Dachdecker auf Montage). Trennung erfolgte 2007. Jedenfalls wollte das Hartz4-Amt im selben Jahr von meinem Freund 1300 Euro zurückgezahlt haben - meine Freund rief bei der SB an und erkundigte sich danach wieso er und warum? Jedenfalls kam heraus, dass das Geld auf ihr Konto damals ging und mein Freund sagte zu der SB, dass man sich das Geld dann auch von ihr wiederholen muss - für die SB war die Angelegenheit damit geklärt und erledigt und für meinen Freund ebenso. Letzte Woche bekommt er dann einen Anruf vom Vollstrecker - er solle doch 1300 Euro Hartz4 zurückzahlen. Er erklärte dem Vollstrecker den sachverhalt, dass er davon nix wußte und es auch nicht auf sein Konto ging und er nicht versteht, warum man sich nur bei ihm meldet- der Vollstrecker meinte, dass er das versteht, aber da ja beide eine Lebensgemeinschaft waren, müssen es dann beide zurückzahlen, quasi jeder 650 euro. Was ich jedoch auch ungerecht finde.
Am nächsten Tag rief mein Freund die SB des Hartz 4- Antrages von damals an und fragte, auf welchem Namen der Antrag gestellt war und wer unterschrieben hat - der Hauptantragsteller war mein Freund und die Exfreundin hat unterschrieben und sich und das gemeinsame Kind als mit im Haushalt lebend aufgeführt.
Angeblich sein es egal, wer den Antrag unterschreibt, da ja Lebensgemeinschaft und es ist wohl auch egal, ob der Partner was davon wußte oder nicht.
Muss das aber nicht so sein, dass der, der den Antrag stellt auch unterschreibt? Ist doch bei anderen Verträgen auch so. Ich finde es Urkundenfälschung oder nicht? Was sagt ihr dazu? Kann man dagegen vorgehen oder muss er die Hälfte nun zurückzahlen? Ich danke für eure Antworten. Liebe Grüße