Ich bin mir nicht ganz sicher, weil es letztendlich um rechtliche Fragen geht und ich kein Rechtsberater bin. Ich kann Dir deswegen nur mitteilen, was ich weiß, ohne den Anspruch auf Richtigkeit und Vollständigkeit.
Wenn keine Erbfolge bestand, muss das Sozialamt grundsätzlich alle Kosten übernehmen.
Mit dem Todestag erlischt der Mietvertrag mit einer normalen Kündigungsfrist nach den Vertragsbedingungen. Also könnte das Sozialamt vom Untermieter für diesen Zeitrahmen die Miete einklagen, weil dieser ebenfalls eine Kündigungsfrist einzuhalten hat. (Also rechtlich müsstest Du die Untermiete vom Todestag, einschließlich dem Zeitrahmen der vereinbarten Kündigungsfrist bezahlen.) Ist die Zeit abgelaufen und die Wohnung nicht mehr bewohnt, muss das Sozialamt die Kosten übernehmen, ohne dass der Untermieter zur Rechenschaft gezogen werden kann.
Da ich aber kein Experte im Sozialrecht bin, würde ich Dir empfehlen beim Amtsgericht einen Beratungsschein für eine Rechtsberatung einzuholen und einfach einen Fachanwalt für Sozialrecht zu konsultieren. Dann bist Du in jedem Fall auf der sicheren Seite. Denn manchmal ist Vorsorge besser, als wenn man später das Nachsehen hat, weil man irgendwelche Fristen oder Sonstiges aus Unwissenheit nicht eingehalten hat.
Viel Glück und Erfolg in der Abwicklung, S.