Hallo,
dies ist im Prinzip eine Aufgabe aus der Analysis, aber das Thema kommt eigentlich aus der Technischen Mechanik:
Es sind zwei Formeln gegeben:
Mb= x*cosh(x/l) Das ist das Biegemoment (oder besser der Verlauf des Biegemoments) eines Trägers mit der Länge l.
-E*l*(d^2w/dx^2)=Mb Diese Formel besagt, dass die Funktion des Biegemoments gleich der 2. Ableitung der Durchbiegung w*-E*l ist.
Die ersten Arbeitsschritte habe ich bereits ausgeführt und auch verstanden. Ich habe (x*cosh(x/l))/-E*l zweimal nach x integriert. Dann hatte ich die Funktion der Durchbiegung w(x) = (2*l^2*sinh(x/l)-l*x*cosh(x/l))/E
Nun aber soll der Wert und der Ort der maximalen Durchbiegung bestimmt werden. Wenn ich wiederum die 1. Ableitung der Funktion bilde, erhalte ich dw/dx=(l*cosh(x/l)-x*sinh(x/l))/E Da ich die Hyperbelfunktionen auch in Exponentialschreibweise umschreiben kann, forme ich um, um besser vereinfachen zu können. Auch setze ich die Funktion gleich Null: 0=(l*(e^(x/l)+e^(-x/l))/2-x*(e^(x/l)-e^(-x/l))/2)/E
So, und hier ist auch schon Ende Gelände. Ich bin an dieser Stelle sowohl algebraisch als auch problembezogen überfordert. Ich müste ja eigentich die NUllstelle(n) bestimmen und diese dann in die Ausgangsfunktion w(x) einsetzen, um zu untersuchen, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt. Bei Plotten des Graphen sah es aber eher so aus, als ob der Maximalwert ins Unendliche geht und auf der X-Achse gegen einen bestimmten Wert konvergiert. Das kann ich mir wiederum praktisch aber garn nicht vorstellen. Eine unendliche Durchbiegung, das ist doch Quatsch!
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann. Ich schreibe bald eine Analysis-Prüfung und will mich an solchen Sachen nicht aufhängen. Mir ist bekannt, welche Möglichkeiten es gibt, um Nullstellen bzw. Extrema zu bestimmen. In diesem Fall komme ich aber einfach nicht mit der Formel klar…
Danke!
Ich habe nicht nachgeprüft, ob Sie soweit alles richtig gemacht haben. Ausgehend von Ihrem Zwischenergebnis dw/dx=(l*cosh(x/l)-x*sinh(x/l))/E muss die Aufgabe (l*cosh(x/l)-x*sinh(x/l))/E=0 gelöst werden.
Das können Sie umformen zu coth(x/l)-x/l=0.
Mit der Substitution y=x/l wird daraus die Lösung der Aufgabe coth(y)-y=0
Wenn Sie dem Grafen plotten, dann sehen Sie schnell, dass die Aufgabe genau zwei Lösungen hat, nämlich +/- irgendwas. Leider sehe ich auf die schnelle keine Möglichkeit, eine geschlossene Lösung anzugeben, sodass ich die Aufgabe mit einem Näherungsverfahren lösen würde. Das Bisektionsverfahren bietet sich hier an.
Falls Sie doch eine geschlossene Lösung finden oder falls Sie einen Fehler in der Aufgabenstellung oder in Ihrer Rechnung entdecken, dann würde ich mich freuen, wenn Sie sich nochmal melden.
Mit freundlichen Grüßen
Thomas Klingbeil
Hallo, vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich kann ihre Umformung nachvollziehen, aber ist die denn so möglich, wenn sich der Term l*cosh(x/l)-x*sinh(x/l)) auf einem Bruchstrich über E befindet? Nunja, ich bin dann einfach dmal davon ausgegangen, dass es geht und habe versucht das Newtonsche Näherungsverfahren anzwenden (das ist im Moment das einzige, welches ich gut beherrsche). Allerdings bekomme ich hier ein Problem technischer Art. Ich habe ja in der Formel von newton im Nenner die Ableitung der Funktion und die ist der Kosekans hyperbolicus. ich finde aber beim besten Willen nirgends einen Rechner, der das ausrechnen kann. Leider habe ich gerade meinen TI 92 nicht. Aber vielleicht gibt es ja auch einen Trick. Den Kosekans hyperbolicus finde ich übrigens auch nicht, sonst könnte ich ja einfach den Kehrwert nehmen…
Mit dem Bisektionsverfahren werde ich mich mal beschäftigen. Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass das in der Prüfung verlangt wird. Ich vermute die Aufgabe zielt auf das Newtonverfahren, denn das war auch Thema einer Vorlesung. Nichtsdestotrotz schadet eine Lektüre über andere Verfahren sicher nicht. :o)
Vielen Dank schon mal, der Umformungshinweis (sofern er denn auch mit 1/E möglich ist) war schon sehr hilfreich!
C. D.
Keine Ursache.
Ich hätte noch zwei Anmerkungen.
- coth
Der coth ist der Kotangens hyperbolikus und nicht der Kosekans. Er ist definiert als coth(x)=cosh(x)/sinh(x) für alle reellen x ohne 0.
Seine Ableitung ist d coth(x)/dx = 1/(sinh(x))^2.
- Die Sache mit dem E
Wenn Sie (l*cosh(x/l)-x*sinh(x/l))/E=0 auf beiden Seiten mit E mltiplizieren, dann kürzt es sich links weg und rechts steht 0*E, was 0 ergibt - und weg ist das E. Dann teilen Sie noch durch l und dann durch sinh(x/l), und erhalten mit der Definition unter 1.
coth(x/l)-x/l=0.
- Die Substitution
Mit y=x/l wird aus 2. coth(y)-y=0.
- Die Lösung
Zur vollständigen Lösung der Aufgabe müssen Sie natürlich die Substitution rückgängig machen und ferner bedenken, dass die Umformung unter 2. wegen der Division durch sinh(x/l) nur für x ungleich 0 gilt. Insofern müssen Sie der Vollständig halber noch zeigen, dass an der Stelle x=0 nicht das Maximum der Durchbiegung liegt.
Viel Spaß beim Rechnen.
Thomas Klingbeil