Wertebereich, Ableitung

Wissenschaft Mathematik
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Hallo und guten Tag zusammen,

ich post hier banal zwei Aufgaben, die ggf. jemand loesen kann und wird.
Es waere freundlich, Step by Step an die zwei Aufgaben zu gehen. Soweit ich mir dies angeschaut habe, verstehe ich den eigentlichen Sinn. Sobald es aber schwieriger und komplexer wird, hoert der Spass auf. _:smile:

  1. Bestimmung des Wertebereichs:

f(x)= e^(3x^4-10x^3+9x^2-2) Intervall: (-0,5;2)

Wie gehe ich hierbei vor? Richtig, dass ich die Extremwerte bestimme? In diesem Fall durch die Kettenregel vorab, damit ich gleich Null setzen kann?!
Was waere, wenn vor dem e eine konstante Zahl stehen wuerde? Was aendert sich dabei? Kann die Kettenregel noch angewandt werden…

Vielleicht koennte ihr einfach ein paar Dinge bzw. Rechnung aufschreiben. Auch ist mir nicht ganz bekannt, was ich mit dem Intervall anfangen soll bei meiner Rechnung.

  1. Erste Ableitung

Vorweg kann ich sagen, dass ich die Regeln kenne und verstehe, aber bei komplexeren Aufgaben nicht weiss, wann ich welche anwenden soll bzw. welche ueberhaupt. In der Regel ist es praktisch, zuerst zu vereinfachen und dann abzuleiten.

Na ja, hier die „schoene“ Funktion:

f(x) = (3*Wurzel(2x+4) + 1) / ( Wurzel (4x^2+1-x)^5) )- e^(3x)

So, dann warte ich einfach mal ab, was sich so machen laesst. Ich finde die Aufgaben, gerade die zweite, extrem und sehr komplex.

Viele Gruesse

Michael

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  1. Bestimmung des Wertebereichs:

f(x)= e^(3x^4-10x^3+9x^2-2) Intervall: (-0,5;2)

Wie gehe ich hierbei vor? Richtig, dass ich die Extremwerte
bestimme? In diesem Fall durch die Kettenregel vorab, damit
ich gleich Null setzen kann?!
Was waere, wenn vor dem e eine konstante Zahl stehen wuerde?
Was aendert sich dabei? Kann die Kettenregel noch angewandt
werden…

Hallo,
Extremwerte nur, wenn Du sicher bist, dass es ein Hochpunkt ist und größer als die Ränder. Null wird exp nie, daher erst ableiten und zweite Klammer Null setzen (das Polynom). Konstante Zahl vor e stört nicht, einfach immer mitschleppen.
f(x)=u(v(x)), wobei u die e-Funktion ist und v(x) das Polynom.
Dann gilt f’(x)=u’(v(x))*v’(x), was bei der e-Funktion ziemlich langweilig ist, da u’=u gilt.
Also in Deinem Fall: f’(x)=f(x)*v’(x)
Wenn Du das nachrechnest, kommt x1=0, x2=1 und x3=1.5 raus. Nur x2=1 ist Hochpunkt, kommt also dafür in Frage den Wertebereich nach oben zu begrenzen. f(x1)=e^(-2) ist also absolutes Minimum.
f(x2)=1, jetzt noch mit Rändern des Intervalls (f(x=-0.5) und f(x=2)) vergleichen und merken, dass Ränder größer sind.
Wertebereich ist also e^(-2)

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Hallo,

Extremwerte nur, wenn Du sicher bist, dass es ein Hochpunkt
ist und größer als die Ränder. Null wird exp nie, daher erst
ableiten und zweite Klammer Null setzen (das Polynom).
Konstante Zahl vor e stört nicht, einfach immer mitschleppen.
f(x)=u(v(x)), wobei u die e-Funktion ist und v(x) das Polynom.
Dann gilt f’(x)=u’(v(x))*v’(x), was bei der e-Funktion
ziemlich langweilig ist, da u’=u gilt.
Also in Deinem Fall: f’(x)=f(x)*v’(x)
Wenn Du das nachrechnest, kommt x1=0, x2=1 und x3=1.5 raus.
Nur x2=1 ist Hochpunkt, kommt also dafür in Frage den
Wertebereich nach oben zu begrenzen. f(x1)=e^(-2) ist also
absolutes Minimum.
f(x2)=1, jetzt noch mit Rändern des Intervalls (f(x=-0.5) und
f(x=2)) vergleichen und merken, dass Ränder größer sind.
Wertebereich ist also e^(-2)

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Hallo,
alles durchzusehen ist mir zu mühsam, daher nur Anmerkungen:
Konstanter Faktor: f(x)=a*g(x), dann ist f’(x)=a*g’(x)
Es hilft die Funktion mal kurz zu Skizzieren, wenn man keine Idee hat, wie sie aussehen könnte. Dabei fängt man bei gegebenem Intervall mit den Werten am Rand und der Steigung dort an, trägt Extrema, Nullstellen etc. ein, die man in der Regel schon aus vorhergehenden Teilaufgaben kennt und rechnet zur Not noch ein paar weitere Punkte aus.

Eine goldene Regel beim Ableiten lautet: Brüche weg, Wurzeln
weg, Produkte und Hochzahlen hin.

Das macht das Leben wirklich leichter und ist IMMER gut.

Also: f(x)=(3(2x+4)^0.5+1)(4x^2±x+1)^(-2.5)-exp(3x) und mit

hätte ich als (wenn ich mich nicht verkopiert habe)
f(x)=(3(2x+4)^0.5)(4x^2±x+1)^(-2.5) + (4x^2±x+1)^(-2.5) - exp(3x)
geschrieben

Beginne ich
zuerst mit der Kettenregel oder mit der Produktregel?
Das ist noch so eine Sache, bei der ich ins stottern gerate…

Wenn du ein Produkt hast, natürlich mit der Produktregel, wenn du eine verkettete Funktion hast, mit der Kettenregel. Sprich - kommt auf die Funktion an. Vielleicht sollte man nochmal ein paar Lektionen zurückgehen und sich nochmal über die grundlegenden Funktionen klar werden.
Und zum Schluß: wenn man alles richtig macht (natürlich nur dann), ist es egal, wie man vorgeht. Es kommt immer das selbe Ergebnis raus.

Cu Rene

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Vielen Dank fuer Dir Rueckmeldung von Rene’.

Sollte sich Jartul noch einem mit dem Beitrag befassen, waere dies nett und vorteilhaft, da er sich bereits mit dem Thema beschaeftigt hat und mir die Fragen - gerade zum Wertebereich - beantworten kann.

Ergaenzung:

In welcher Hinsicht benutzt man die (allgemeine) Quotientenregel, die spezielle Quotientenregel oder die erweiterte Quotientenregel? Wie sieht die letzt genannte Regel aus (in verstaendlicher Weise)?

Viele Gruesse und einen guten Abend

Michael

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Hallo Michael,
das ist ein klassisches Beispiel von den Grenzen eines Forums - Du stellst in einem Satz eine Frage, man merkt aber dem Satz an, dass Du einige andere Sachen auch nicht kapierst hast.
Mein Tipp:
Such Dir einen Studiosi, der in 5 Minuten Ordnung in die Begriffsvielfalt bringt oder mail mich an - ich versuchs gerne per Telefon.

Gruß
jartUl