Hallo
Ich möchte allgemein widerlegen, dass sin(1/x) im Intervall (0,1) nicht stetig ist.
Wenn ich mir die Funktion plotten lasse, sehe ich im Bereich 0 bis 0.003 Spruenge etc. Nach Augenmass ist das also nicht stetig.
Nun ist die Definition der Stetigkeit ja so, dass gilt
lim_(x->x_0) muss existieren
lim_(x->x_0)=f(x_0)
Ich habe jetzt die Lösung gesehen und kann versuchen, es anHand von Zahlen zu widerlegen.
Nur allgemein ohne Plotter - wie kommt man darauf?
Grüße von
McMike
hi,
Ich möchte allgemein widerlegen, dass sin(1/x) im Intervall
(0,1) nicht stetig ist.
??? „widerlegen … dass … nicht“ ???
also: sin(1/x) ist im intervall (0,1) (ohne die 0, ohne die 1) stetig. und zwar als hintereinanderausführung bzw. verkettung stetiger funktionen.
im geschlossenen intervall [0,1] (mit 0 und 1) ist sin(1/x) nicht stetig, da die funktion in x=0 zunächst gar nicht definiert ist und auch nicht so definiert werden könnte, dass sie stetig wäre.
ich verstehe deine frage so, dass du beweisen willst, dass sin(1/x) in x=0 nicht stetig ist, uns zwar ganz egal, wie man sin(1/x) in x=0 definiert.
fakt ist, dass sin(1/x) in jeder umgebung von x=0 alle werte zwischen -1 und +1 annimmt. du musst als x-werte lediglich die kehrwerte der winkel pi/2, 3pi/2, 5pi/2 … einsetzen, also
x = 2/pi, 2/(3pi), 2/(5pi), …, insgesamt also dinge der form
(2/pi) * 1/(2n-1) (n = 1, 2, 3, …).
mit diesen x-werten kommst du beliebig nahe an 0 heran.
das widerspricht der definition von stetigkeit. (von solchen definitionen gibts mehrere. schau dir an, wie ihr den limes für funktionen definiert hat.) lim(x->0) existiert damit nicht, und damit kannst du in 0 keinen funktionswert definieren, mit dem die funktion in x=0 stetig wäre.
hth
m.
Hallo.
Genau das wollte ich wissen. Die Frage war etwas ungünstig formuliert.
sin(1/x) ist ja im Intervall (0,1) stetig. Aber wie siehts aus mit gleichmässiger Stetigkeit? Die Fkt. ist ja nicht gleichmässig stetig.
Wie sollte man denn da das Epsilon und Delta wählen?
(Damit habe ich ja immer meine Schwierigkeiten, das Delta intuitiv zu wählen. Ich habe es bereits x=delta und y=delta/2 versucht, sodass ich dann hatte
|x-y|=D-D/2 = D/2 1 = epsilon.
Aber diese Ungleichung ist ja leider nicht in dem Intervall erfüllt.)
Gruß,
McMike
hi,
Genau das wollte ich wissen. Die Frage war etwas ungünstig
formuliert.
sin(1/x) ist ja im Intervall (0,1) stetig. Aber wie siehts aus
mit gleichmässiger Stetigkeit? Die Fkt. ist ja nicht
gleichmässig stetig.
ja genau. deswegen wirst du (nein: lässt sich) für viele epsilons kein delta finden, das die abstandsbedingung für alle x-werte erfüllt.
hth
m.