Widerspruch in der Funktionentheorie

Wissenschaft Physik
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Hallo,

also irgendwie scheint in der Funktionentheorie der Wurn drin zu sein:

Zuerst heißt es da, dass eine holomorphe Funktion F Stammfunktion einer anderen Funktion f heißt, wenn gilt: F’=f.

Dann gibt es doch den Satz, dass wenn man eine Stammfunktion gefunden hat das Ringintegral über alle geschlossenen Wege =0 ist.

Alles schön und gut. Aber nimmt man mal zum Beispiel die Funktion:
f=1/z

Es gilt ln(z)’=1/z. Also ist F=ln(z) eine Stammfunktion von f. Wenn man aber nun das Ringintegral über den Einheitskreis über f bildet, erhält man:
int f(f) dz = i*2pi und NICHT Null!!

Wo liegt mein Denkfehler?

fragt sich
OLIVER

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Hallo Oliver.

Zum Sachverhalt hat Maximilian bereits alles gesagt; ich will versuchen, es anders zu erklären.

Bei vorhandenen Singularitäten von f ist das Integral

 b
 INT f(z)dz
 a

i.a. wegabhängig. Also kann es eine Funktion F, für die immer

 b
 (1) INT f(z)dz = F(b) - F(a)
 a

gilt, nicht geben.

Natürlich kann man das Integral

 w
(2) F(w)= INT f(z)dz
 w<sub>0</sub>

bilden, und die so definierte Funktion F hat auch die Eigenschaft

(3) F'(z)=f(z),

aber sie hat eben nicht die Eigenschaft (1).

Im Reellen sind die Eigenschaften (1) und (3) äquivalent (Hauptsatz der D+I - Rechnung), im Komplexen gilt das nicht, bzw. nur dann, wenn man sich auf einfach zusammenhängende Gebiete beschränkt.

Im laxen Sprachgebrauch nennt man eine Funktion, die (3) erfüllt, Stammfunktion; dies tun auch viele Autoren, sofern in den Büchern über Funktionentheorie überhaupt das Wort Stammfunktion gebraucht wird. Man denkt nicht weiter darüber nach, da einem der Sachverhalt klar ist, und im Reellen ist das ja auch korrekt. Eine Stammfunktion im eigentlichen Sinn ist aber nur eine Funktion, für die (1) gilt.

Die Funktion f(z) = 1/z hat einen Pol bei 0. Also darf man nur einfach zusammenhängende Gebiete betrachten, die den Nullpunkt nicht enthalten. In diesen Gebieten gilt (1), wenn Du F(z) = ln z wählst.

Wenn Du aber auf dem Einheitskreis um 0 herum integrierst, ist das Gebiet nicht mehr einfach zusammenhängend, und (1) muß nicht gelten.

Gruß

meridium

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Hallo Oliver,

Max hat es ja unten schon unermüdlich erklärt:
Weil F eben KEINE Stammfunktion von f ist! Und das liegt nicht an F sondern an f. Da kann die Funktion F so holomorph sein wie sie will und auch abgeleitet f ergeben - aber f ist nicht auf der ganzen Einheitskreisscheibe, um die herum integriert wird, definiert und hat damit die Chance verspielt, eine Stammfunktion zu haben!
In der Definition von „Stammfunktion“ steht als Voraussetzung:
„Es sei U(Teilmenge von C) offen und f:U->C eine STETIGE Funktion.“ Und beim Beweis des Satzes, der den Zusammenhang zwischen verschwindendem Ringintegral und Vorliegen einer Stammfunktion angibt, wird diese Stetigkeit benutzt.

Klio.

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