Widerspruchsbeweis / neutrales Element / inverses

Wissenschaft Physik
#1

Hallo zusammen,

Ich habe mal versucht, das inverse Element zu beweisen und komme aber nicht weiter. Als Hilfestellung habe ich folgenden Widerspruchsbeweis „Eindeutigkeit des neutralen Elements“:

  • Grundaussage: a + e = a => e = 0
  • Annahme, dass außer 0 noch ein weiteres neutrales Element existiert
  • 0*
  • also Hypothese: statt a + 0 = a nun a + o* = a
  • folgende Gleichung zeigt, dass 0 und 0* identisch sind
  • 0 + 0* = 0 = 0*
  • Was identisch ist kann nicht unterschiedlich sein!
  • Es gibt nur ein neutrales Element (für Elemente aus Z)

Zwischenfrage: Ist das soweit richtig???

Nun zum WiderspruchsbeweisVERSUCH „Eindeutigkeit des inversen Elements“:

  • Grundaussage: a + a* = e
  • Annahme, dass außer a* noch ein weiteres inverses Element existiert
  • a**
  • also Hypothese: statt a + a* = e nun a + a** = e

…aber wie zeige ich nun, dass a* und a** identisch sind und es nur ein eideutiges inverses Element gibt???

Gruß und Danke fürs Kopfzerbrechen (oder auch nicht) ;o)

#2

Guten Tag!

Ich habe mal versucht, das inverse Element zu beweisen und
komme aber nicht weiter. Als Hilfestellung habe ich folgenden
Widerspruchsbeweis „Eindeutigkeit des neutralen Elements“:

  • Grundaussage: a + e = a => e = 0

Entweder du nimmst e als Neutrales Element oder 0 , d.h. so wie du es schreibst, hantierst du mit 4 Neutralen Elementen und benutzt zusätzlich noch die später verwendete Schreibweise des Inversen Elements.

  • Annahme, dass außer 0 noch ein weiteres neutrales Element
    existiert
  • 0*
  • also Hypothese: statt a + 0 = a nun a + o* = a
  • folgende Gleichung zeigt, dass 0 und 0* identisch sind
  • 0 + 0* = 0 = 0*

Woher nimmst du 0 = 0*?
Du kannst dies nur bei einer kommutativen Gruppe folgern:
e + E = e und E + e = E,
wegen Kommutativität gilt nun auch e + E = E ==> e = E

  • Was identisch ist kann nicht unterschiedlich sein!
  • Es gibt nur ein neutrales Element (für Elemente aus Z)

Zwischenfrage: Ist das soweit richtig???

Ich hätt a + e = a und a + E =a ==> a + e = a + E ==> e = E notiert

Nun zum WiderspruchsbeweisVERSUCH „Eindeutigkeit des inversen
Elements“:

  • Grundaussage: a + a* = e
  • Annahme, dass außer a* noch ein weiteres inverses Element
    existiert
  • a**
  • also Hypothese: statt a + a* = e nun a + a** = e

besser: zusätzlich zu a + a* = e nun auch a + a** = e

…aber wie zeige ich nun, dass a* und a** identisch sind und
es nur ein eideutiges inverses Element gibt???

a + a* = e und a + a** = e ==> a + a* = a + a** ==> a* = a**

MfG Gerhard Kemme

#3

Super!!! Danke
Hallo Gerhard,

vielen Dank. Hast du super erklärt!
Mit meinen Variablen:
Kommutative Gruppe:

  • Aussage1: 0 + 0* = 0
  • Aussage2: 0* + 0 = 0*
  • Anwendung des Kommutativgesetzes: 0 + 0* = 0* + 0
  • Ergebnis: 0 = 0*

Beweis der Eindeutigkeit vom inversen Element läuft analog!

Klasse :o)

#4

Hallo Alex,

was Dir Gerhard erzählt hat, ist alles andere als „super“.
.
.
Behauptung: Die Eins in einer Gruppe ist eindeutig, d. h. es gibt nur eine.

Beweis durch Widerspruch:

Annahmen:
(1) e sei Eins.
(2) e sei eine weitere, von e veschiedene ( e ≠ e) Eins.

e ist Eins e · x = x für alle x
e ist Eins y · e = y für alle y

Wähle x = e und y = e

–> e · e = e
–> e · e = e

Da die linken Seiten identisch sind, müssen es auch die rechten sein –> e = e –> Widerspruch zur Annahme " e ≠ e"!
.
.
.
Behauptung Jedes Element in einer Gruppe hat genau ein Inverses (also nicht mehrere).

Beweis durch Widerspruch:

Annahmen:
(1) a–1 sei das Inverse von a.
(2) a –1 sei ein zweites, von a–1 verschiedenes ( a –1 ≠ a–1) Inverses von a.

a –1 = a –1 · e = a –1 · (a · a–1) = ( a –1 · a) · a–1 = e · a–1 = a–1

Also a –1 = a–1 –> Widerspruch zur Annahme " a –1 ≠ a–1"!
.
.
.
In jeder Gruppe, d. h. nicht nur den kommutativen, gilt:

(1) Jede Linkseins ist auch eine Rechtseins, also eine „Eins“.
(2) Jedes Linksinverse ist auch ein Rechtsinverses, also ein „Inverses“.
(3) Es gibt genau eine Eins.
(4) Jedes Element hat genau ein Inverses.

(1) bedeutet, dass aus e · a = a und a–1 · a = e folgt a · e = a.
(2) bedeutet, dass aus e · a = a und a–1 · a = e folgt a · a–1 = e.

Du kannst ja mal versuchen, (1) und (2) zu beweisen; das ist eine gute Übung :smile:.

Mit freundlichem Gruß
Martin

PS: Es gilt also in jeder Gruppe e · a = a · e sowie a · a–1 = a–1 · a. Das hat aber überhaupt nichts mit einer etwaigen Kommutivität der Gruppe zu tun; eine solche liegt erst vor, wenn a · b = b · a für alle a, b erfüllt ist.

1 Like
#5

Hmm… %-)
Hi Martin,

also da muß ich jetzt erst mal drüber schlafen… Ich glaube so UNGEFÄHR verstehe ich, was du damit sagen willst. Hab aber nur Mathe-I und dann ist Schluss damit. Wird wohl nie so meine Welt werden. Finde es aber umso beeidruckender, was manche Leute (z. B. Du) alles Wissen. Unglaublich!

Gruß,

Alex :o)

#6

Anwendung?
Moin,

Wird wohl nie so meine
Welt werden. Finde es aber umso beeidruckender, was manche
Leute (z. B. Du) alles Wissen. Unglaublich!

ich finde das auch beeindruckend. Aber kann vielleicht mal jemand von diesen klugen Leuten mal andeuten, wozu man das annähernd gebrauchen könnte? Ich meine - ist es pure Grundlagenforschung (die auch gemacht werden muss) oder ist das schon für irgendwas nützlich? Ich will ganz bestimmt nicht lästern, aber dass 0=0 ist ist doch irgendwie klar, oder?

Olaf

#7

Moin,

ich finde das auch beeindruckend. Aber kann vielleicht mal
jemand von diesen klugen Leuten mal andeuten, wozu man das
annähernd gebrauchen könnte? Ich meine - ist es pure
Grundlagenforschung (die auch gemacht werden muss) oder ist
das schon für irgendwas nützlich? Ich will ganz bestimmt nicht
lästern, aber dass 0=0 ist ist doch irgendwie klar, oder?

Olaf

Das es zumindest intuitiv klar ist ist eine Seite. Da die Mathematik ein logisches System ist braucht es ein stabiles Fundament auf das aufgebaut wird. Dazu muß alles aus den grundlegenden Axiomen beweisbar sein.
Zudem geht es hierbei um eine wesentlich allgemeinere „Rechenvorschrift“ für Körper, nicht nur um das Rechnen mit natürlichen oder reellen Zahlen…

Ingo

#8

Du hast Recht, das ist Grundlagenforschung. Die Behauptung die hier diskutiert wird gehört zur sogenannten Gruppentheorie. Diese kann später u.a. dazu verwendet werden um die Lösbarkeit von Polynomgleichungen festzustellen. Und das ist doch schon recht angewandt, oder? Okay, vllt nur für einen Mathestudenten :wink:

Gruss,
Timo

#9

Behauptung:
Sei (G,+) ein Gruppe. Dann gilt
(a) Es gibt genau ein neutrales Element e € G, d.h es gilt e+a=a
(b)Dieses Element ist auch rechtsneutral, d.h es gilt auch a+e=a
(das muss bei einer nichtkommutativen Gruppe auch gezeigt werden)
©Zu jedem Element gibt es ein inverses Element a’ mit a’+a = e
(d)Das inverse Element ist auch rechtsinvers, d.h. es gilt auch a+a’=e

Beweis:

Zunächst zeige ich Behauptung (d), damit ich diese später im Beweis der anderen Punkt benutzen kann.
Los gehts…
Sei a ein beliebiges Element aus G und a’ sein Linksinverses und a’’ das Linksinverse zu a’.
Damit führt man folgende Rechnung durch
a+a’ = e+(a+a’) (e ist das neutrale Element)
= (a’’+ a’)+(a+a’) (a’’ ist Linksinvers zu a’)
= a’’+ (a’+(a+a’)) (Anwendung des Assoziativgesetztes)
= a’’+ ((a’+a)+a’) (Anwendung des Assoziativgesetztes)
= a’’+ (e + a’) (a’ ist Linksinvers zu a)
= a’’ + a’ (e ist das neutrale Element)
= e (a’’ ist Linksinvers zu a’)
Also gilt a+a’=e. Es ist also Punkt (d) gezeigt.

Damit folgt Punkt (b) durch die folgende Rechnung:
a+e = a+(a’+a) (a’ ist invers zu a)
= (a+a’)+a (Assoziativität)
= e + a (a’ ist ja auch nach (d) rechtsinvers)
= a

Jetzt beweisen wir (a)
Annahme: Es gibt zwei neutrale Element e und e’ (beide sind dann Links-und Rechtsneutral nach (b)). Dann gilt
e = e’ + e = e’ (weil e rechtsneutral zu e’ ist nach (b)).
Damit ist (a) gezeigt.

Jetzt zeigen wir Punkt ©
Annahme: Es gibt zwei inverse Elemente von a. Diese seinen a’ und ä. (a’’ konnte ich nicht mehr nehmen, weil es das ja schon im Beweis gibt :wink: )
Dann gilt:
a’ = e + a’
= (ä + a) + a’ (ä ist invers zu a)
= ä + (a + a’) (Assoziativgesetz)
= ä + e (a’ ist rechtsinvers zu a nach (d))
= ä (e ist neutrales Element und nach (b) rechtsneutral)

Damit sind alle Punkte gezeigt.

Gruss,
Timo

P.S: Wer Tippfehler findet darf sie behalten.

#10

Anmerkung
Betreibst du Mathematik als Selbststudium? Dann kann ich dir diese PDF-File hier empfehlen. Das ist ein ziemlich ausführliches Skript für Anfänger. Das soll nicht heissen, dass es einfach ist, aber es wird WIRKLICH ALLES von 0 hergeleitet, benötigt keine Vorkenntnisse (vllt etwas Schulmathematik) und geht Schritt für Schritt voran. Ich wundere mich, dass der Prof, der dieses Skript verfasst hat, das nicht als Buch verkauft. Ich glaube der könnte damit echt Kohle machen.
http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/lina…

Greetz,
Timo

1 Like
#11

Behauptung:
Sei (G,+) ein Gruppe. Dann gilt
(a) Es gibt genau ein neutrales Element e € G, d.h es gilt
e+a=a
(b)Dieses Element ist auch rechtsneutral, d.h es gilt auch
a+e=a
(das muss bei einer nichtkommutativen Gruppe auch gezeigt
werden)
©Zu jedem Element gibt es ein inverses Element a’ mit a’+a =
e
(d)Das inverse Element ist auch rechtsinvers, d.h. es gilt
auch a+a’=e

Hallo Timo,

nun würfel doch nicht die Definition und die Folgerungen zusammen :-/.
.
.
Definition: (G, ·) wird genau dann Gruppe genannt, wenn gilt

(0) „·“ ist bzgl. G abgeschlossen:
a · b ∈ G für alle a, b ∈ G

(1) „·“ ist assoziativ:
a · (b · c) = (a · b) · c für alle a, b, c ∈ G

(2) Es gibt eine Linkseins:
e ∈ G mit e · a = a für alle a ∈ G

(3) Zu jedem Element gibt es ein Linksinverses:
Zu jedem a ∈ G gibt es ein a’ ∈ G mit a’ · a = e für alle a ∈ G
.
.
Daraus folgt:

(I) Jede Linkseins ist stets auch eine Rechtseins, also eine „Eins“.
(II) Jedes Linksinverse ist stets auch ein Rechtsinverses, also ein „Inverses“.
(III) Die Eins ist eindeutig, d. h. es gibt nur eine.
(IV) Das Inverse zu jedem Element ist eindeutig.
.
.
Mit freundlichem Gruß
Martin

#12

Danke fürs Skript
Hi Timo,

nö… kein SelbstStudium, sondern Mathe I im Studiengang Augenoptik… Wie gesagt… nach Mathe I ist Schluss. Glaube ich zumindest. Ziel sind die komplexen Zahlen, weil die in der Augenoptik häufig verwendet werden. Wofür weiss ich allerdings noch nicht *grins*

Danke für das Skript. Habs mir runtergeladen und werde mir dort ein paar für mich relevante Dinge anschauen - wenn ich Zeit habe -.

Gruß,

Alex

#13

Hallo an dieser Stelle.

Ziel sind die komplexen Zahlen, weil die in der
Augenoptik häufig verwendet werden. Wofür weiss ich :allerdings noch nicht *grins*

Eine kleine Suche mit google.de @ +„komplexe Zahlen“ +optik kann hier durchaus aufklärend wirken :wink:

mfg M.L.

#14

Sers,
ich hab die Definition schon beachtet. Ich wollte noch die Eindueitgkeit des Neutralen und des Inversen zeigen. Deshalb auch die Formulierung „…es gibt GENAU ein …“

#15

Behauptung:
Sei (G,+) ein Gruppe. Dann gilt
(a) Es gibt genau ein neutrales Element e € G, d.h es gilt e+a=a
(b)Dieses Element ist auch rechtsneutral, d.h es gilt auch a+e=a
(das muss bei einer nichtkommutativen Gruppe auch gezeigt werden)
©Zu jedem Element gibt es ein inverses Element a’ mit a’+a = e
(d)Das inverse Element ist auch rechtsinvers, d.h. es gilt auch a+a’=e

Hi,

ich hab die Definition schon beachtet. Ich wollte noch die
Eindueitgkeit des Neutralen und des Inversen zeigen. Deshalb
auch die Formulierung „…es gibt GENAU ein …“

ist mir jetzt klar geworden :smile:. Sorry, mein Fehler.

(a) Es gibt genau ein neutrales Element e € G, d.h es gilt e+a=a

Als Formulierung, die deutlich ausdrückt, dass es nicht um die Existenz des neutralen Elements geht oder was „neutrales Element“ bedeutet, sondern um dessen Eindeutigkeit, fände ich dann aber beispielsweise

(a) Das neutrale Element ist eindeutig.

besser. Und bei © entsprechend

© Das zu jedem Element gehörende inverse Element ist eindeutig.

Mit freundlichem Gruß
Martin

#16

Jo, ich hätte es auch besser ausdrücken können. Aber jetzt ist’s ja geklärt.

Greetz,
Timo

#17

Guten Tag!

was Dir Gerhard erzählt hat, ist alles andere als „super“.

Und wo bleibt die Widerlegung der von mir notierten Aussagen? Einfach in den Raum stellen, dass irgendetwas - was konkret auf ein Posting bezogen war - falsch sei, kann man als Drittklässler. In dem einen Werk zur linearen Algebra werden die kleinen Beweise rings um die Gruppenaxiome so notiert und im anderen dann etwas abgeändert. Was du da notierst ist einfach Buch- und Matheskriptwissen, ohne konkreten Bezug zu den vorliegenden Texten der Postings.
MfG Gerhard Kemme

#18

Guten Tag!

ich finde das auch beeindruckend. Aber kann vielleicht mal
jemand von diesen klugen Leuten mal andeuten, wozu man das
annähernd gebrauchen könnte? Ich meine - ist es pure
Grundlagenforschung (die auch gemacht werden muss) oder ist
das schon für irgendwas nützlich? Ich will ganz bestimmt nicht
lästern, aber dass 0=0 ist ist doch irgendwie klar, oder?

Es handelt sich hier um die sogenannten Gruppenaxiome , die für die (Lineare)Algebra zentral sind, d.h. hier wird die Grundlage eines Regelwerkes festgelegt, das den rechnerischen Umgang, z.B. mit Natürlichen Zahlen zum Gegenstand hat. Aus diesen Gruppenaxiomen deduziert man dann eine grosse Anzahl von Sätzen , so wie hier die Eindeutigkeit des Einselementes. Wollte man eine „Rechnerei“ ohne Anwendung einer Axiomatik praktizieren, käme man wieder zurück zum puren Abzählen, denn bereits die Setzung von Klammern müsste jedesmal neu durchdacht werden - wer dies dann mittels allgemeineren Regeln rechnen wollte - nun, der landete dann wieder bei diesen Axiomen und den daraus deduzierten Sätzen.

MfG Gerhard Kemme