wenn ich ohmsche widerstände R1 und R2 parallel schalte, ist der gesamtwiderstand R1*R2/(R1+R2).
jetzt hab ich folgendes:
zwei gleiche widerstände R in reihe.
parallel zum einen widerstand schalte ich wieder zwei gleiche widerstände R in reihe.
parallel zu einem widerstand davon schalte ich wieder zwei gleiche widerstände R in reihe.
das läßt sich beliebig fortsetzen.
frage: gibt es eine allgemeine formel zur berechnung des gesamtwiderstands bei beliebig vielen „stufen“?
wenn ich richtig gerechnet hab, krieg ich als gesamtwiderstand bei
stufe 0: 2R
stufe 1: 5/3 R
Stufe 2: 39/24 R
stufe 3: 2448/1512 R
bin überzeugt, daß sich das als reihe oder was auch immer schreiben läßt, aber irgendwie steh ich wohl aufm schlauch. weiß einer von euch was?
Gesucht ist der Widerstand R, der zwischen den Klemmen „x“ gemessen wird. Die „[r]“ sind physische Widerstände, wohingegen ρ der Ersatzwiderstand des Restes der Kette ist. Preisfrage: Wie groß ist ρ? Na ja, wenn man dahintergekommen ist, dass ρ = R (!) sein muss, dann muss man nur noch rechnen:
R = r + rR/(r + R)
==> … ==> R² – rR + r² = 0 (quadratische Gleichung für R –> pq-Formel)
==> … ==> R = φ r mit φ = (√5 + 1)/2 ≈ 1.61803399…
Hier taucht also interessanterweise die „Goldene-Schnitt-Zahl“ φ = (√5 + 1)/2 auf.
Gesucht ist der Widerstand R, der zwischen den Klemmen „x“
gemessen wird. Die „[r]“ sind physische Widerstände,
wohingegen ρ der Ersatzwiderstand des Restes der Kette
ist. Preisfrage: Wie groß ist ρ? Na ja, wenn man
dahintergekommen ist, dass ρ = R (!) …
Das ist falsch. Nehmen wir mal die beiden ersten Fälle:
Das in explizite Form zu bringen, überlasse ich einem
Schlaueren.
na einen Schritt weiter kann man noch gehen. Das Ergebnis lässt sich immer als Bruch mal R darstellen, also z.B.
a/b * R
Das Ergebnis für die nächste Stufe ist dann
(2a+b)/(a+b) * R
Das kann man dann in eine geschlossene Form (von n abhängig bringen), aber das könnten doch mal die Mathematiker machen, oder?
Das liegt daran, dass sich der Quotient zweier folgenden
Fibonacci-Zahlen dem goldenen Schnitt annähert
fi(n+1)/fi(n) -> φ für n gegen unendlich.
Konstruktionsbedingt erhält man aus der rekursiven Form:
R(n+1) = r + rR(n)/(r + R(n))
die nicht-rekursive Form:
R(n) = r * fi(2n+3)/fi(2n+2)
heureka! daß zähler und nenner irgendwie summenmäßig von den vorhergehenden abhängen, hab ich auch schon rausgefunden, aber daß das fibonacci-zahlen sind, war mir nicht bekannt. danke!
Aus der letzten Skizze folgt der gesuchte Ersatzwiderstand R der N-Kette zu
R = r + r ρ / (r + ρ) []
Jetzt kommt der Clou: Für N → ∞ ist sowohl die N-Kette als auch die (N-1)-Kette eine „Unendlich-Kette“ und ihre Ersatzwiderstände deshalb identisch. Das bedeutet: ρ = R !
Damit ist das Problem gelöst: Setze in der Gleichung [] ρ = R und löse sie nach R auf.
…
Jetzt kommt der Clou: Für N → ∞ ist sowohl die
N-Kette als auch die (N-1)-Kette eine „Unendlich-Kette“ und
ihre Ersatzwiderstände deshalb identisch. Das bedeutet:
ρ = R !
Damit ist das Problem gelöst: Setze in der Gleichung []
ρ = R und löse sie nach R auf.
Nö. Damit hast Du ein anderes Problem gelöst. Die Frage lautete, wie groß der Widerstand für einen beliebigen Wert von N ist, und nicht gegen welchen Grenzwert der Widerstand für N gegen unendlich strebt.
Oder willst Du behaupten, dass Deine Formel auch für endliche Werte von N gilt. Dann bitte nochmal mein letztes Posting lesen.
Nö. Damit hast Du ein anderes Problem gelöst. Die Frage
lautete, wie groß der Widerstand für einen beliebigen Wert von
N ist, und nicht gegen welchen Grenzwert der Widerstand für N
gegen unendlich strebt.
ok, dann hab ich besagte Frage falsch interpretiert. Was der Autor des Ursprungspostings wissen wollte geht aber aus dem, was er schrieb, auch nicht ganz eindeutig hervor – finde ich jedenfalls („Kann mir jemand eine nichtrekursive Formel für den Ersatzwiderstand RN einer N-Kette herleiten?“: diese Frage z. B. hätte es m. E. besser ausgedrückt).
Oder willst Du behaupten, dass Deine Formel auch für endliche
Werte von N gilt.
ok, dann hab ich besagte Frage falsch interpretiert. Was der
Autor des Ursprungspostings wissen wollte geht aber aus dem,
was er schrieb, auch nicht ganz eindeutig hervor – finde ich
jedenfalls
naja, ich meine schon, „beliebig viele“ (was ich geschrieben hatte) und „unendlich viele“ sind zwei paar stiefel.
aber es war ja auch mitten in der nacht…
„beliebig viele“ (was ich geschrieben hatte) und „unendlich viele“
sind zwei paar stiefel.
da hast Du eigentlich auch wieder recht . Ein kleiner, aber feiner Unterschied, der da zu später Stunde meiner Aufmerksamkeit entwischt ist *lächel*. Aber genug geredet – Dein Problem wurde gelöst, und das ist es doch, was zählt.
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. Ein kleiner, aber feiner Unterschied, der da zu später Stunde meiner Aufmerksamkeit entwischt ist *lächel*. Aber genug geredet – Dein Problem wurde gelöst, und das ist es doch, was zählt.