Widerstandsschaltung

Wissenschaft Physik
#1

hallo.

wenn ich ohmsche widerstände R1 und R2 parallel schalte, ist der gesamtwiderstand R1*R2/(R1+R2).

jetzt hab ich folgendes:
zwei gleiche widerstände R in reihe.
parallel zum einen widerstand schalte ich wieder zwei gleiche widerstände R in reihe.
parallel zu einem widerstand davon schalte ich wieder zwei gleiche widerstände R in reihe.
das läßt sich beliebig fortsetzen.

frage: gibt es eine allgemeine formel zur berechnung des gesamtwiderstands bei beliebig vielen „stufen“?

wenn ich richtig gerechnet hab, krieg ich als gesamtwiderstand bei
stufe 0: 2R
stufe 1: 5/3 R
Stufe 2: 39/24 R
stufe 3: 2448/1512 R

bin überzeugt, daß sich das als reihe oder was auch immer schreiben läßt, aber irgendwie steh ich wohl aufm schlauch. weiß einer von euch was?

gruß

michael

#2

Hallo!

R(n) ist der Ersatzwiderstand. R ist der Widerstandswert eines einzelnen Widerstandes.

In rekursiver Schreibweise:

R0 = 2 R
R(n+1) = R + R*R(n)/(R+R(n))

Das in explizite Form zu bringen, überlasse ich einem Schlaueren.

Michael

#3

frage: gibt es eine allgemeine formel zur berechnung des
gesamtwiderstands bei beliebig vielen „stufen“?

Hallo Michael,

die Unendlich-Kette läßt sich so darstellen:

 x---[r]--•----+
 / | |
R [r] ρ 
 \ | |
 x--------•----+

Gesucht ist der Widerstand R, der zwischen den Klemmen „x“ gemessen wird. Die „[r]“ sind physische Widerstände, wohingegen ρ der Ersatzwiderstand des Restes der Kette ist. Preisfrage: Wie groß ist ρ? Na ja, wenn man dahintergekommen ist, dass ρ = R (!) sein muss, dann muss man nur noch rechnen:

R = r + rR/(r + R)

==> … ==> R² – rR + r² = 0 (quadratische Gleichung für R –> pq-Formel)

==> … ==> R = φ r   mit φ = (√5 + 1)/2 ≈ 1.61803399…

Hier taucht also interessanterweise die „Goldene-Schnitt-Zahl“ φ = (√5 + 1)/2 auf.

Mit freundlichem Gruß
Martin

#4

Hallo Michael,

die Unendlich-Kette läßt sich so darstellen:

x—[r]–•----+
/ | |
R [r] ρ
\ | |
x--------•----+

Gesucht ist der Widerstand R, der zwischen den Klemmen „x“
gemessen wird. Die „[r]“ sind physische Widerstände,
wohingegen ρ der Ersatzwiderstand des Restes der Kette
ist. Preisfrage: Wie groß ist ρ? Na ja, wenn man
dahintergekommen ist, dass ρ = R (!) …

Das ist falsch. Nehmen wir mal die beiden ersten Fälle:

|
[r]
|
[r]
|

R=2r, rho=unendlich
R ungleich rho

 |
 [r]
 |
 +--+--+
 | |
 | [r]
[r] |
 | [r]
 | |
 +--+--+
 |

R = r + r*2r/(r+2r) = 5/3 r
rho = 2 r
R ungleich rho

Michael

#5

Hoppla! Da ist mir die Formatierung durcheinander geraten. So sieht es besser aus:

 |
 [r]
 |
 [r]
 |

R=2r, rho=unendlich
R ungleich rho

 |
 [r]
 |
 +--+--+
 | |
 | [r]
[r] |
 | [r]
 | |
 +--+--+
 |

R = r + r*2r/(r+2r) = 5/3 r
rho = 2 r
R ungleich rho

Michael

#6

Hier taucht also interessanterweise die „Goldene-Schnitt-Zahl“
φ = (√5 + 1)/2 auf.

Mit freundlichem Gruß
Martin

Das liegt daran, dass sich der Quotient zweier folgenden Fibonacci-Zahlen dem goldenen Schnitt annähert
fi(n+1)/fi(n) -> φ für n gegen unendlich.

Konstruktionsbedingt erhält man aus der rekursiven Form:
R(n+1) = r + rR(n)/(r + R(n))

die nicht-rekursive Form:
R(n) = r * fi(2n+3)/fi(2n+2)

Gruß Frank

2 Like
#7

Hallo,

In rekursiver Schreibweise:

R0 = 2 R
R(n+1) = R + R*R(n)/(R+R(n))

Das in explizite Form zu bringen, überlasse ich einem
Schlaueren.

na einen Schritt weiter kann man noch gehen. Das Ergebnis lässt sich immer als Bruch mal R darstellen, also z.B.
a/b * R
Das Ergebnis für die nächste Stufe ist dann
(2a+b)/(a+b) * R

Das kann man dann in eine geschlossene Form (von n abhängig bringen), aber das könnten doch mal die Mathematiker machen, oder?

Olaf

#8

hallo.

R0 = 2 R
R(n+1) = R + R*R(n)/(R+R(n))

ja. so weit war ich schon :smile:

Das in explizite Form zu bringen, überlasse ich einem
Schlaueren.

und das hab ich mir dann auch irgendwann gedacht.

gruß

michael

#9

hallo.

Das liegt daran, dass sich der Quotient zweier folgenden
Fibonacci-Zahlen dem goldenen Schnitt annähert
fi(n+1)/fi(n) -> φ für n gegen unendlich.

Konstruktionsbedingt erhält man aus der rekursiven Form:
R(n+1) = r + rR(n)/(r + R(n))

die nicht-rekursive Form:
R(n) = r * fi(2n+3)/fi(2n+2)

heureka! :smile: daß zähler und nenner irgendwie summenmäßig von den vorhergehenden abhängen, hab ich auch schon rausgefunden, aber daß das fibonacci-zahlen sind, war mir nicht bekannt. danke!

gruß

michael

#10

R = r + r*2r/(r+2r) = 5/3 r
rho = 2 r
R ungleich rho

Hallo Michael,

Du hast meine Lösung nicht verstanden.

8er-Kette Realisierungsmöglichkeit 1:

 x---[r]--•--[r]--•--[r]--•--[r]--•--[r]--•--[r]--•--[r]--•--[r]--+
 / | | | | | | | |
R [r] [r] [r] [r] [r] [r] [r] [r]
 \ | | | | | | | |
 x--------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------+



8er-Kette Realisierungsmöglichkeit 2:

 x---[r]--•------+
 / | |
R [r] 7er-Kette
 \ | |
 x--------•------+



N-Kette:

 x---[r]--•------+
 / | |
R [r] (N-1)-Kette (Ersatzwiderstand =: ρ)
 \ | |
 x--------•------+

Aus der letzten Skizze folgt der gesuchte Ersatzwiderstand R der N-Kette zu

R = r + r ρ / (r + ρ)  [:diamonds:]

Jetzt kommt der Clou: Für N → ∞ ist sowohl die N-Kette als auch die (N-1)-Kette eine „Unendlich-Kette“ und ihre Ersatzwiderstände deshalb identisch. Das bedeutet: ρ = R !

Damit ist das Problem gelöst: Setze in der Gleichung [:diamonds:] ρ = R und löse sie nach R auf.

Gruß
Martin

#11

Hallo Martin!

…
Jetzt kommt der Clou: Für N → ∞ ist sowohl die
N-Kette als auch die (N-1)-Kette eine „Unendlich-Kette“ und
ihre Ersatzwiderstände deshalb identisch. Das bedeutet:
ρ = R !

Damit ist das Problem gelöst: Setze in der Gleichung [:diamonds:]
ρ = R und löse sie nach R auf.

Nö. Damit hast Du ein anderes Problem gelöst. Die Frage lautete, wie groß der Widerstand für einen beliebigen Wert von N ist, und nicht gegen welchen Grenzwert der Widerstand für N gegen unendlich strebt.

Oder willst Du behaupten, dass Deine Formel auch für endliche Werte von N gilt. Dann bitte nochmal mein letztes Posting lesen.

Michael

#12

Hallo Michael,

Nö. Damit hast Du ein anderes Problem gelöst. Die Frage
lautete, wie groß der Widerstand für einen beliebigen Wert von
N ist, und nicht gegen welchen Grenzwert der Widerstand für N
gegen unendlich strebt.

ok, dann hab ich besagte Frage falsch interpretiert. Was der Autor des Ursprungspostings wissen wollte geht aber aus dem, was er schrieb, auch nicht ganz eindeutig hervor – finde ich jedenfalls („Kann mir jemand eine nichtrekursive Formel für den Ersatzwiderstand RN einer N-Kette herleiten?“: diese Frage z. B. hätte es m. E. besser ausgedrückt).

Oder willst Du behaupten, dass Deine Formel auch für endliche
Werte von N gilt.

Nein.

Gruß
Martin

#13

hallo martin.

ok, dann hab ich besagte Frage falsch interpretiert. Was der
Autor des Ursprungspostings wissen wollte geht aber aus dem,
was er schrieb, auch nicht ganz eindeutig hervor – finde ich
jedenfalls

naja, ich meine schon, „beliebig viele“ (was ich geschrieben hatte) und „unendlich viele“ sind zwei paar stiefel.
aber es war ja auch mitten in der nacht… :smile:

gruß

michael

#14

Hallo,

„beliebig viele“ (was ich geschrieben hatte) und „unendlich viele“
sind zwei paar stiefel.

da hast Du eigentlich auch wieder recht :wink:. Ein kleiner, aber feiner Unterschied, der da zu später Stunde meiner Aufmerksamkeit entwischt ist *lächel*. Aber genug geredet – Dein Problem wurde gelöst, und das ist es doch, was zählt.

Gruß zurück
Martin