Hallo!
Ich habe da ein großes kleines Problem mit einer Aufgabe die jetz recht einfach klingen mag aber ich hatte das noch nie und ich möchte das jmd erklären.
es geht darum dass ich von einer rekursive Folge in eine explizite Formel umwandeln soll.
Eine Aufgabe :
a1=0 an=an-1 +2*(n+1)
Lösung ist:
an=n2 +3*n-4
meine Frage ist: wie kommt man darauf??
(also Lösungen is klar was a2 is und so aber des andere? keine Ahnung…)
Hallo sammy,
wie immer:
Schulart, Klassenstufe, Bundesland.
Es sieht sehr nach „vollständiger Induktion“ aus.
Gruß Volker
Hallo Sammy!
a1=0 an=an-1 +2*(n+1)
Lösung ist:
an=n2 +3*n-4meine Frage ist: wie kommt man darauf??
Da gibt es unterschiedliche Herangehensweisen.
Die elementarste ist, einfach ein paar Folgenglieder auszurechnen, also
a2=6, a3=14, a4=24 …
Vielleicht auch rückwärts, denn Du weißt ja auch: an-1=an - 2*(n+1), und dann kriegst Du
a0=-4, a-1=-6, a-2=-6, a-3=-4 … und dann geht’s wieder rückwärts!
Das alles sieht doch sehr nach einer Parabel aus!
Die andere Möglichkeit, auf eine Parabel zu kommen, ist Integralrechnung (wenn Du das schon kannst). Du hast hier zwar nicht die Steigung in einem Punkt gegeben, aber die mittlere Steigung zwischen zwei Punkten. Diese nimmt mit n linear zu, also wird die Funktion von n quadratisch ansteigen.
Gut, nun hast Du die Parabel (zunächst als Vermutung), dann setzt du an:
a(n)=bn²+cn+d,
setzt drei Punkte ein, z.B.
0=a(1)=b+c+d,
6=a(2)=4b+2c+d,
14=a(3)=9b+3c+d;
und dann löst Du das Gleichungssystem.
Der letzte Schritt ist dann, mittels vollständiger Induktion zu verifizieren, dass Du die richtige Formel gefunden hast.
Liebe Grüße
Immo
klar sry 
also Allgemeinbildendes Gymnasium, Klasse 12, Baden-Württemberg
