Wie gehe ich diese Aufgaben an?

Wissenschaft Mathematik
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Liebe/-r Experte/-in,

eines meiner Mädchen hat - unter der Überschrift „Parameteraufgaben“ folgende Aufgabe nach Hause gebracht:

  1. Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat in P (1/4) eine Tangente parallel zur x-Achse und in W (0/2) ihren Wendepunkt.

  2. Für eine zum Ursprung symmetrische ganzrationale Funktion fünften Grades gilt:
    i) Sie hat im Ursprung die Tangente mit der Gleichung y=7*x und in W (1/0) einen Wendepunkt.
    ii) Im Wendepunkt W (-1/1) hat die Tangente die Steigung 3.

Meine eigenen Kenntnisse gehen etwa bis zur 10. Klasse. Dieser Stoff ist jetzt in der 11 aufgetaucht und ich stehe ziemlich auf dem Schlauch.

Für eine etwas genauere Erläuterung wäre ich sehr dankbar.

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Hallo W-W-W,

ich gebe ihnen nun erst einmal eine etwas allgemeinere Erläuterung, vieleicht kommt ja mit den Tips ihre Tochter selbst drauf.
Dies wäre das sinnvollste.

Zu i)
Eine ganzerationale Funktion 3.Grades sieht wie folgt aus:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
bzw.
y= = ax³ + bx² + cx + d

a,b,c und s sind die Parameter die zu bestimmen sind.
Um 4 Parameter eindeutig zu bestimmen, brauchen wir 4 Anhaltpunkte.
Um diese zu erhalten, studieren wir die Angabe etwas genauer.

Es ist schon mal der Punkt P gegeben. (Anhaltpunkt 1)
Dieser hat sogar eine Tangente parallel zur x-Achse.
Das heisst die Steigung der Funktion in diesem Punkt = 0. (Anhaltpunkt 2)
Dann besitzt die Funktion den Punkt W. (Anhaltspunkt 3)
Dieser ist dazu noch ein Wendepunkt (Anhaltpunkt 4)

Perfekt ^^ wir haben 4 Anhaltspunkte für 4 Parameter gefunden.

Fangen wir mit der Tatsache an, dass W(0/2) ein Wendepunkt ist.
Wendepunkte bestimmt man mit der zweiten Ableitung, wenn diese 0 ist.
Da wir wissen dass W ein Wendepunkt ist, nehmen wir die zweite Ableitung der allgemeinen ganzrationalen Funktion und setzen dort den x-Wert ein.

Ich leite zur besseren Verständnis die Funktion für sie nun ab:
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f’(x)=3ax²+2bx+c (1.Ableitung)
f’’(x)=6ax+2b (2.Ableitung)

Daraus folgt für den Wendepunkt:
f’’(x) = 0 (x-Wert von W = 0)
=>f’’(0) = 0
=> 6*a*0 + 2*b = 0
=> b = 0

Nun behandeln wir die parallelität der Tangente zur x-Achse. Sprich 1.Ableitung gleich 0 im x-Wert des Punktes P.
f’(x) = 0
=> f’(1) = 0
=> 3a*1² + 2b*1 + c = 0
=> 3a+2b+c = 0

Und nun machen wir das analog zu den eigentlichen Punkten.
Also f(1) = 4 und f(0) = 2
Dort bekommen wir ebenfalls je eine Parametergleichung raus.
Dann haben wir ein Gleichungsystem mit 4 Unbekannten und 4 Gleichungen.
Dies kann man dann relativ einfach lösen, denn von b wissen wir schon, dass es 0 ist.

Aufgrund der Uhrzeit und der Tatsache, dass ich keinen Stift zur Hand habe (ich tippe gerade im Bett ^^) traue ich mich nicht es fehlerfrei zu lösen. Werde es aber morgen bei zeiten tun.
Sollten sie weitere Fragen zu diesem Thema haben dürfen sie sie mir sehr gerne stellen.
Dieses Thema zieht sich wie ein roter Faden bis zum Abitur, es ist wichtig, dass ihre Tochter dies sicher beherscht.
Ich habe immer wieder Schüler, die die Kurvendiskusion nie richtig verstanden haben.

lg
Ulli