Ich weiß nicht wie diese Matheaufgabe geht! Man soll die Gleichung in die Mittelpunktform überführen und den Mittelpunkt und den Radius des Kreises bestimmen. Ich verstehe aber nicht, wie. Wäre nett wenn ihr mir helfen könntet, denn ich stehe in Mathe auf der Kippe zu einer 5!!
Die Aufgabe lautet
x²+4x +y² -10y = -20
moin;
Ein Kreis mit dem Mittelpunkt (c|d) und dem Radius r hat die Form (x-c)²+(y-d)²=r².
In deiner Aufgabe musst du also erst einmal quadratische Ergänzung durchführen, also von den binomischen Formeln „rückwärts rechnen“.
Wenn du dazu noch Fragen hast, kannst du dich ja hier noch mal melden 
Ich komme hiermit auf
(x+2)²-4+(y-5)²-25=-20
Jetzt nur noch auf die Form oben bringen also auf beiden Seiten +4+25 rechnen um die absoluten Glieder aus der linken Seite zu entfernen.
Damit lautet die Mittelpunktform dieses Kreises also
(x+2)²+(x-5)²=9.
Ein Blick auf die allgemeine Form verrät uns: dieser Kreis hat den Mittelpunkt (-2|5) und hat einen Radius von 3 (=sqrt(9)) LE.
mfG
Ok danke erstmal! Ich glaub das hab ich jetzt verstanden, also danke danke danke!!!
Kannst du mir vielleicht auch noch bei einer anderen Aufgabe helfen?
Die lautet so:
Der Kreis hat den Koordinatenursprung als Mittelpunkt und geht durch den Punkt P. Bestimme seine Gleichung in Mittelpunktform.
a) P(5/-12)
Ich verstehe gar nix. Wär nett wenn du mir nochmal helfen könntest!
ich verstehe diese matheaufgabe nicht
Ok danke erstmal! Ich glaub das hab ich jetzt verstanden, also danke danke danke!!!
Kannst du mir vielleicht auch noch bei einer anderen Aufgabe helfen?
Die lautet so:
Der Kreis hat den Koordinatenursprung als Mittelpunkt und geht durch den Punkt P. Bestimme seine Gleichung in Mittelpunktform.
a) P(5/-12)
Ich verstehe gar nix. Wär nett wenn du mir nochmal helfen könntest!
Hallöle.
Du sollst
x^2 + 4x + y^2 - 10y = -20
untersuchen.
Die allgemeine Kreisgleichung lautet
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2
wo x0 und y0 die Koordinaten des Mittelpunktes M darstellen (Vorzeichen beim Ablesen beachten; Mittelpunktkoordinaten mit entgegengesetztem Vorzeichen wie in der Kreisgleichung).
Wenn Du die allgemeine Kreisgleichung ausmultiplizierst (Binome!), kommst Du auf
x^2 - 2 x_0 x + x_0^2 + y^2 - 2 y_0 y + y_0^2 = r^2
Wie Du siehst, fehlen in Deinem Beispiel auf der linken Seite die absoluten Glieder (= Zahlen) x02 und y02, während auf der rechten Seite auch kein richtiger Radius steht, denn es gibt keine negativen Radien.
Hier wurde demzufolge die Gleichung des Kreises ausmultipliziert und zusammengefaßt, so daß sich der Mittelpunkt nicht direkt ablesen läßt.
Um Deine ausmultiplizierte und zusammengefaßte Gleichung zurück in die Mittelpunktsform zu bringen, mußt Du die unvollständigen quadratischen Ausdrücke ergänzen. Das ist Stoff der 9. Klasse und nennt sich „quadratische Ergänzung“.
Quadratische Ergänzung ist sehr einfach!
Der Blick geht immer auf das lineare Glied, d.h. Du betrachtest bei
x^2 + 4x die + 4x.
Von der binomischen Formel
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
weißt Du, daß die + 4x der Struktur + 2 \cdot a \cdot b entsprechen.
Du weißt, daß die erste Größe („a“) Dein x ist und Du deshalb nur die andere Größe zusammenbasteln brauchst. Du dividierst die + 4x im Kopf mit 2 und mit x und erhälst folgerichtig für die zweite Größe („b“) den Wert 2.
Du notierst
(x + 2)^2
Wenn Du diesen Term ausmultiplizierst
(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4
stellst Du fest, daß die + 4 auf der linken Seite der Kreisgleichung irgendwie fehlen.
Wenn jedoch x^2 + 4x das gleiche sein soll wie (x + 2)^2, mußt Du die überschüssige + 4 subtrahieren.
Du notierst deswegen
(x + 2)^2 -4
Die Probe
(x + 2)^2 - 4 = x^2 + 4x + 4 - 4 = x^2 + 4x
zeigt Dir klar, daß wir Gleichheit hergestellen - wir ändern keine Werte, sondern nur die Schreibweise.
Das gleiche führst Du jetzt noch einmal auf der linken Seite der Kreisgleichung mit dem quadratischen Ausdruck für y durch:
y^2 - 10y \rightarrow (y - 5)^2 = y^2 - 10y + 25
y^2 - 10y = (y - 5)^2 - 25
Jetzt fügst Du Deine Teilergebnisse zusammen
(x + 2) ^2 - 4 + (y - 5)^2 - 25 = -20
und beseitigst links die Zahlen
(x + 2)^2 - 4 + (y - 5)^2 - 25 = -20 \qquad | + 4, + 25
(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 9
… und Du erhälst die gesuchte Mittelpunktsform Deines Kreises.
Der Mittelpunkt lautet M (-2; +5). (Vorzeichen beachten!)
Der Radius ist \sqrt{9} = 3.
Probe:
(x - (-2))^2 + (y - (+5))^2 = 9
(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 9
x^2 + 4x + 4 + (y - 5)^2 = 9 \qquad | -4
x^2 + 4x + (y - 5)^2 = 5
x^2 + 4x + y^2 - 10y + 25 = 5 \qquad | -25
x^2 + 4x + y^2 - 10y = -20
Schüler tun sich oft sehr schwer bei der quadratischen Ergänzung, weil Mathelehrer da einen völlig unnötigen Affentanz veranstalten. Zum Rechnen sei empfohlen, die quadratische Ergänzung kochrezeptartig auswendigzulernen. Es gilt:
x^2 + px = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \frac{p^2}{4}
Nachweis:
x^2 + px = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \frac{p^2}{4} = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2} + \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \frac{p^2}{4} = x^2 + px + \frac{p^2}{4} - \frac{p^2}{4} = x^2 + px
Beispiele:
x^2 + 8x = \left(x + \frac{8}{2}\right)^2 - \frac{8^2}{4} = (x + 8)^2 - 16
x^2 - \frac{1}{4}x = \left(x - \frac{(\frac{1}{4})}{2}\right)^2 - \frac{\left(- \frac{1}{4} \right)^2}{4} = \left(x - \frac{1}{8}\right)^2 - \frac{1}{64}
Du könntest Dir auch
x^2 + px = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2
merken, was noch ein bißchen einfacher ist, denn im Verlauf der Rechnung bildest Du ohnehin \left(\frac{p}{2}\right).
Grüße
reinerlein
Hallöle.
Der Kreis hat den Koordinatenursprung als Mittelpunkt und geht durch
den Punkt P. Bestimme seine Gleichung in Mittelpunktform.P(5;-12)
Die allgemeine Kreisgleichung lautet
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2
Die Koordinaten des Ursprungs kennst Du bestimmt.
O(0;0)
Es folgt
(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = r^2
x^2 + y^2 = r^2
Den Radius kennst Du jedoch nicht.
Aber ein Punkt, der sicher auf dem Kreis liegt, ist gegeben.
P \in k \rightarrow 5^2 + (-12)^2 = r^2
25 + 144 = 169 = r^2
x^2 + y^2 = 169
Der Radius des Kreises beträgt \sqrt{169} = 13. (pythagoräisches Zahlentripel 5, 12, 13)
reinerlein