Hi lieber „Nutze den Tag“ 
die Frage klingt viel einfacher, als sie in Wirklichkeit ist!! Warum?? Nun ja, sie verlangt eine Menge Wissen, was in der formalen Fragestellung gar nicht so zu Tage tritt !!
Hier nun also meine Antwort!
#1 Als erstes muss man bedenken, dass es sich bei der „Feldstärke“ um eine richtungsabhängige Größe, also einen Vektor, keine skalare Größe, handelt!
#2 Hier war der Aufgabensteller nett, weil er etwas Überschauliches als Basis gewählt hat! nämlich dieses Quadrat. Ja, die Geschichte ist natürlich dreidimensional, aber, dank dem Aufgabensteller, können wir es in einer Ebene abhandeln.
#3 Eine Deiner Fragen vorgezogen: das Vorzeichen ist eminent wichtig!! Also, dieses etwaige Umkehren - völlig andere Ergebnisse. Uff!!
#4 gehen wir nun in medias res! (Muss ich schon so schreiben, lieber carpediem!)
Der Punkt, in dem die resultierende Feldstärke gewünscht wird, ist der Mittelpunkt. Das gibt uns Erleichterung und Hilfe !! Nämlich, da sich "links oben und rechts unten " bzw. „Rechts oben und links unten“ quasi direkt gegenüber liegen, uff, da können wir die beiden jeweils getrennt behandeln und deren Werte addieren / abziehen - je eben nach Ladungsvorzeichen!!
#5 mag sein, dass ich Dich damit nerve, aber, falls das noch jemand anders liest, hier Griff in die Schublade. 
Wie ist doch gleich die Feldstärke an sich definiert?? Die Formel (für eine Punktladung) lautet:
E (Feldstärke, Betrag) = 1/(4*Pi*Epsilon-Null)*q (die Ladung eben)/ r² (r= Abstand der Ladung vom Aufpunkt, wo wir es wissen wollen). Uff! Formeln lassen sich in diesem Format nicht so wie gewohnt darstellen, aber so sollte es doch verständlich sein!!
#6 wenn wir mal „oben & rechts“ - normales kartesisches Koordinaten System - als „positiv“ ansehen, dann ergäbe sich:
#7 Ladungen rechts oben und links unten - deren Feldstärken liegen in der gleichen Richtung - ergeben:
E1 = 1/(4*Pi*Epsilon-Null)*((9/a²-6/a²)*nC = +
1/(4*Pi*Epsilon-Null) * (6nC /(20cm)²)
#8 Sorry! Ich hole es nach, aber für Dich eh simpel, der Abstand von der Ecke zum Mittelpunkt des Quadrates, Herr Pythagoras lässt grüßen, Kantenlänge des Quadrates sei k, r = a = Wurzel aus (k²/2) = k/Wurzel"2" . Uff. Ausgerechnet - obwohl wir das hier noch nicht brauchen, 20 cm durch Wurzel aus 2 = 14,14213562 cm.
#9 nun entsprechend #7, aber für links oben und rechts unten - liegen wieder auf einer Geraden, ergibt sich:
E2 = 1/(4*Pi*Epsilon-Null)*((-3/a²-12/a²)*nC =
1/(4*Pi*Epsilon-Null) * (-15nC /(20cm)²) Uff!!
#10 wenn wir nun diese beiden Vektoren, E1 & E2, zeichnen, so bilden die beiden, Gott sei Dank, wieder ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem wir unseren Freund Pythagoras zur Hilfe haben!! Hi, hi, hi, …
#11 Die resultierende Feldstärke E, von der ja nun, freundlicherweise, nur der Betrag gefordert ist, ergibt sich damit aus:
E = Wurzel aus (E1² + E2²) !! Naja, der Rest ist fast ein Kinderspiel - wenn nicht diese verdammten Einheiten wären !!!
#12 Einheiten: Was ist wohl die Einheit der Feldstärke??? Ja, bitte glauben, „Volt pro Meter“ oder „Spannung pro Länge“. Ist eben so !!
#13 Der Rest ist umsichtige, fleißige Rechnung, ja, o.k., auch hier Fehler möglich - auch bei mir, leider!!
#14
Ich erhalte also:
E = Wurzel aus (E1² + E2²) =
1/(4*Pi*Epsilon-Null)*nC*Wurzel (6²+15²) / (20cm)² =
3.630,1396 V/m. Ich hoffe, dass ich mich nicht verrechnet habe, wäre Punktabzug!!
#15
Bei der Umrechnung bitte beachten: (ist aber selbstverständlich)
- 1/(4*Pi*Epsilon-Null)= 8,988*10 Esp (-9)*Vm/As
- 1N = 1kg*m /s²
- 1 W = 1 A*V = 1 N*m/s
#16 Uff, das war es! Wie Du siehst, nicht ganz so simpel. Aber, wenn ich helfen kann, dann tue ich es gern. Eine Antwort von Dir, wie auch immer, wäre nett. Ja, hat auch mich altes Pferd geraume Zeit gekostet wird nicht in Rechnung gestellt!!! Hi, hi, hi…
Alles Gute weiterhin für Dich „carpediem“
wünscht Dir
Rainer