Komplexe Zahlen der Mathematik.
Wie rechnet man vereinfacht Hoch 10?
((1-i)/(1+i))^10
Ich kann ja schlecht 10 mal den Term hinschreiben und anschließend ausmultiplizieren - wie kommt man schneller ans Ergebnis?
Hey Quak,
Ich kann ja schlecht 10 mal den Term hinschreiben und anschließend :ausmultiplizieren
Klar, geht schon 
Aber evtl weißt du ja, wie man komplexe Zahlen noch anders schreiben kann - z.b. in Exponentialform.
Da geht hoch 10 relativ schnell.
Gruß René
wüsste jetzt nicht direkt wie das geht. könntest du ein bsp geben oder anhand meines bsp das erklären bitte?
Müsste ich mich auch nochmal reinlesen, aber mir ist grad noch ein anderer Weg eingefallen, der um einiges leichter ist:
Man kann Brüche mit komplexen Zahlen relativ leicht vereinfachen, wenn man mit dem komplexen Konjugat erweitert.
Willst es selber versuchen oder soll ich es vorrechnen?
Das Ergebnis ist ganz einfach: -1
Gruß René
Ui, davon habe ich noch nichts gehört.
Die Aufgabe lautet, ich soll den realteil und imaginärteil angeben. also muss das ergebnis wenn möglich in dieser form gegeben sein: a+bi
wäre nett, wenn du es mal vorrechnen könntest.
danke
moin;
wenn ich auch darf, würde ich mich opfern ^^
Da du weißt, dass i² schön einfach ist, bietet es sich an, die Brüche so zu erweitern, dass möglichst „viel“ i² stehen bleibt. Am besten hierbei die 3. binomische Formel, da hier kein 2ab vorkommt =)
In deiner Aufgabe erweitern wir den Bruch einmal mit 1+i:
\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{10}=\left(\frac{1-i^2}{1+2i+i^2}\right)^{10}
=\left(\frac{2}{2i}\right)^{10}
=\left(\frac{1}{i}\right)^{10}=\frac{1^{10}}{(-1)^5}
Der Rest ist simpelstes Ausrechnen 
mfG
Danke für den Ansatz, aber beim Ausrechnen ist ja gar kein i mehr da, oder? ich muss ja auf einen Term ähnlich a+bi kommen 
moin;
dann ist b=0, oder wie würdest du das sehen?
mfG
jo hab ich mir im nachhinein auch gedacht. big thx :>
Wenn wir schon mal dabei sind, hier die letzte Aufgabe:
(1-i)^8
Kann ich da einfach (1-i²)^4 draus machen?
mfg
Hey Quak,
die binomischen Formeln müssen wir uns nochmal anschauen, oder?
(1-i)^8 = ((1-i)^2)^4 = (1 - 2i + i^2)^4
Ausrechen ist dann nicht mehr schwierig.
Gruß René
Ich bin in Mathe nicht so das Ass, mitunter habe ich auch viele Regeln vergessen.
Erst einmal danke für den Ansatz.
Wenn ich die Klammern dann zusammenfasse, müsste ich ja (-2i)^4 erhalten.
Das wiederum wäre ja -2^4 * i^4 oder o.O
wer hat eigentlich Mathe erfunden? D:
das wäre dann 16 * i^4 hmmm
help xD
Hey,
Ich bin in Mathe nicht so das Ass, mitunter habe ich auch viele Regeln :vergessen.
Wenns um eine Auffrischung geht, hilft man doch gerne.
Wenn ich die Klammern dann zusammenfasse, müsste ich ja (-2i)^4 :erhalten.
Das wiederum wäre ja -2^4 * i^4 oder o.O
das wäre dann 16 * i^4 hmmm
Und jetzt noch überlegen, wie man i^2 berechnen kann bzw wie es definiert ist…und schon bist du fertig
wer hat eigentlich Mathe erfunden? D:
Zitat von Galileo:
Mathematik ist die Sprache in der Gott das Universum schrieb.
Bin allerdings Ahteist…ich glaub da nicht dran
Gruß René
Hallo René,
Ausrechen ist dann nicht mehr schwierig.
oder alternativ über die Exponentialdarstellung der komplexen Zahlen:
z = |z|:e^{i\phi}\quad {\rm mit}::: \tan\phi = \frac{{\rm Im} :z}{{\rm Re}:z}
\quad\Rightarrow\quad
1 - i = \sqrt{2}:e^{-i \pi/4}
\Rightarrow\quad(1 - i)^8 = (\sqrt{2})^8 e^{-i \pi/4})^8 = 2^4 : e^{-i 2\pi} = 16:e^0 = 16
Gruß
Martin
Hm, also i^2 ist ja als -1 definiert, demnach wäre i^4 gleich (-1)^2 ist gleich -1 oder o.O
16*-1=-16
die lösung wäre also -16?
ich habe mal 2 rechenbeispiele - wo liegt der fehler??
- rechenbeispiel war das gerade eben. Lösung: -16
- (1-i)^8 = 1^8 + (-i)^8
= 1 * (i^2)^4
= 1 * (-1)^4
= 2
was stimmt nun? für mich ist beides plausibel, oder steckt wieder ein schusselfehler drin?
mfg
Hey,
ich habe mal 2 rechenbeispiele - wo liegt der fehler??
- rechenbeispiel war das gerade eben. Lösung: -16
- (1-i)^8 = 1^8 + (-i)^8
= 1 * (i^2)^4
= 1 * (-1)^4
= 2was stimmt nun? für mich ist beides plausibel, oder steckt
wieder ein schusselfehler drin?
Es stimmt keins von beiden
Du hast Recht, dass (-1)^2 rauskommt…aber was ist denn (-1) * (-1)?
Es kommt also + 16 raus.
Ohne den Vorzeichenfehler würde also Nr.1 stimmen.
Warum aber passt Nr.2 nicht? Du hast jede Menge andere Produkte vergessen, die noch vorkommen müssen. Als einfaches Beispiel, die 1.binomische Formel:
(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2
Bei hoch 3:
(a+b)^3 = a^3 +3a²b + 3ab² + b^3
Bei (a+b)^8 kann man, wenn man es gern ausmultiplizieren möchte (kleiner Tipp: Bei hoch 8 ist es ne blöde Idee auszumultiplizieren ) das Pascalsche Dreick anschauen, um die Koeffizienten rauszubekommen.
Sie wären 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1.
Jetzt aber zu zeigen, dass es das gleiche ist…des wäre bissl Arbeit
mfg
Gruß René
also stimmt doch 16. ich war mir mit dem minuszeichen unsicher, aber mein taschenrechner sagt bei -1^2 = -1 o.O
thx jedenfalls.
Ok, ich will euch ein letztes mal nerven. Hier meine letzten Fragen zum Thema:
-
Ich soll wieder Real- und Imahinärteil der Lösung berechnen. Wie gehe ich dann bei solchen Aufgaben vor: z.B. z^2=2i
-
Ist der Betrag einer komplexen Zahl immer ⎮z⎮ also ⎮(a+bi)⎮?
-
Kann ich i^2 jederzeit in -1 umwandeln bzw. eine -1 jederzeit als i^2 schreiben?
danke leute.
- Ich soll wieder Real- und Imahinärteil der Lösung
berechnen. Wie gehe ich dann bei solchen Aufgaben vor: z.B.
z^2=2i
z als a + b i ausdrücken und rechnen. Es ergeben sich irgendwelche Gleichungen für a und b, aus denen die gesuchten Werte für a und b folgen. Mit denen kannst Du dann die Lösung als a + b i darstellen. Manchmal ist es allerdings rechentechnisch vorteilhafter, z am Anfang in der Polarform |z| ei φ auszudrücken. Kommt auf den konkreten Fall an.
- Ist der Betrag einer komplexen Zahl immer ⎮z⎮ also :⎮(a+bi)⎮?
| z | = | a + b i | = √(a2 + b2)
- Kann ich i^2 jederzeit in -1 umwandeln bzw. eine -1
jederzeit als i^2 schreiben?
Ja, selbstverständlich. i2 ist ja dasselbe wie –1.
Gruß
Martin
Hallo!
aber mein taschenrechner sagt bei -1^2 = -1
Das stimmt ja auch: -1²=-1, aber (-1)²=1.
„Hochrechnung“ geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung, demnach bedeutet -1² ohne Klammern dasselbe wie -(1²), und das ist nun mal -1.
Eventuell weiß Dein Taschenrechner das (er weiß es wahrscheinlich, wenn er oben 'ne Zeile hat, wo er Dir anzeigt, was Du gerade eingegeben hast; und er weiß es wahrscheinlich nicht, wenn er diese Zeile nicht hat und Dir nur das Ergebnis anzeigt), dann liegt der Fehler darin, dass Du es nicht wusstest.
Wenn Dein Taschenrechner das nicht weiß, dann liegt der Fehler darin, dass Du ihn falsch bedient hast. In diesem Fall könnte ich Dein Missverständnis bei der Bedienung des TR ausräumen, wenn Du mir die genaue Tastenfolge mitteilst, die Du gedrückt hast.
Liebe Grüße
Immo