Hallo Mathe-Experten,
wie kann ich aus Stützstellen einer Abtastung eine Funktion erzeugen?
In einer Prüfanlage digitalisiere ich mit einem Speicheroszilloskop ein Farb-Videosignal. Die Farbinformation des Videosignals ergibt sich aus der Phasenverschiebung zwischen einem Sinus-Burst zum Beginn der Videozeile und der Sinusschwingung des Farbträgers zum Zeitpunkt t.
http://de.wikipedia.org/wiki/Fernsehsignal#FBAS-Signal
Um die Farbe eines Farbbalkens zu ermitteln, muss ich also die Phasenlage zwischen dem Sinus-Burst (5) und dem Sinussignal zum Zeitpunkt t (2) berechnen.
Bisher analysiere ich die Nulldurchgänge des Bursts und des Farbträgersignals während des Farbbalkens, ermittle aus dem Burst die Frequenz des Farbträgers und kann dadurch die Phasenverschiebung berechnen. Das Verfahren funktioniert, nur ist die Genauigkeit noch nicht so gut, wie ich sie mir wünsche.
Da ich ja momentan die meisten Punkte ‚wegwerfe‘, weil ich nur die Nulldurchgänge anschaue, müsste sich doch die Genauigkeit verbessern lassen, wenn ich alle Punkte meines Farbbursts und des Sinussignals während des Farbbalkens in eine Funktion einbauen kann…
Wer kann mir da mal ein Stichwort liefern, wonach ich suchen kann?
Viele Grüße
Arno
Vielfältige Möglichkeiten
Hallo Arno,
aus Stützstellen eine Funktion zu machen ist für jeden Spezialfall eine besondere Sache.
Im einfachsten Fall kannst du aus n Stützstellen ein Polynom mit Grad n-1 bestimmen, welches durch alle Stützstellen geht. Dieses Polynom zu bestimmen ist nicht so schwer. Allerdings ist diese genau Approximation oft gar nicht so optimal, da das Polynom zu unangemehmen Schwingungen neigt, daher sucht man oft ein Polynom mit geringerem Grad, welches die gegebenen Punkte nur „bestmöglich“ approximiert (Summe der Abstandsquadrate wird minimal). Eine andere Möglichkeit (und davon gibt es viele Varianten) ist die Approximation durch Splines.
Du siehst, es gibt auf diese Frage keine einfach Antwort die für alle Fälle befriedigende Ergebnisse liefert — man müsste sich die Sitation genauer ansehen und dann diverse Möglichkeiten ausprobieren.
Schöne Grüße von Werner
Lieber Arno,
wenn ich das Ganze richtig verstehe, wollen Sie zu gegebenen Punkten
(x1/y1), … (xn/yn) ein Polynom P vom Grad(n-1) finden, so dass P(xi)=yi.
Dazu setzen Sie einfach jeden Punkt in die Polynomgleichung
y=a0+a1*x+a2*x^2+…+a(n-1)*x^(n-1)
ein und erhalten ein Lineares Gleichungssystem. Das Lösen Sie z.B mit dem Gauß-Algorithmus oder mit der Cramerschen Regel.
Beispiel:
Punkte (1/4), (3/2), (6/3)
P(x)=ax²+bx+c
Gleichungen:
4=a+b+c
2=9a+3b+c
3=36a+6b+c
Lösung: selber finden
Hallo Werner,
vielen Dank für Deine Antwort.
Ich habe mir bei der Verarbeitung des Signals jetzt eine andere Eigenschaft zunutze gemacht: Das Verhältnis von Farbhilfsträgerfrequenz, Zeilenfrequenz und Bildfrequenz ist fest… Dadurch bin ich nun nicht mehr darauf angewiesen, einen relativ kurzen Burst mit knapp 3000 Abtastungen auszuwerten, sondern ich messe den Abstand zwischen dem Burst der ersten und der 15. auszuwertenden Videozeile, rechne daraus die Farbhilfsträgerfrequenz mit sehr guter Genauigkeit aus und kann meine Phasenvergleiche machen… Das ist mathematisch zwar nur wenig anspuchsvoll, aber schnell realisiert…
viele Grüße
Arno
Hallo Joachim Huber,
vielen Dank für die Antwort. Ich habe mir zwischenzeitlich eine Funktion geschrieben, die sich den Zusammenhang zwischen Farbhilfsträger, Zeilenfrequenz und Bildfrequenz zu Nutze macht. So kann ich aus dem Abstand zwischen den Farbbursts von erster und fünfzehnter Videozeile mit einer Auflösung von 1ns und den Nulldurchgängen mit sehr guter Genauigkeit Frequenz und Phasenlage des Farbhilfsträgers ermitteln und die Verschiebung zu der Phasenlage des Farbträgers in den Farbbalken berechnen.
Ich werde jedoch auf jeden Fall mal den Ansatz mit dem Polynom ausprobieren, um zu sehen, welche Genauigkeit mit den ca. 3000 Stützstellen erreicht werden kann.
Vielen Dank nochmal
Arno
Hallo!
Leider liegt mein Schwerpunkt im Bereich „Schulmathematik“
malyna