Wie kann ich y^2*y'-t*e^y^3 lösen?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hi,
ich muss die oben genannte DGL lösen.
Mein Ansatz war Trennung der Variablen so dass ich auf:

Int(y^2/e^(y^3))dy=Int(t)dt
komme. Nun habe ich z=y^3 substituiert und komme dann auf:
-e^(-z)=1,5t^2+C

Nun meine Frage: Wie mache ich hier weiter? Dachte an Erweitern mit der e-Funktion, aber muss ehrlich sagen, dass ich mich mit den Regeln diesbezüglich nicht sehr gut auskenne und die Gleichung bei mir dann SEHR unübersichtlich geworden ist:
y=3teWurzel(-ln(-1,5*t^2+c))

Würde mich über eine Antwort freuen.
Mfg Max

#2

Sorry habe ich oben vergessen muss eigentlich:

y^2*y’-t*e^y^3=0

heißen.

#3

ich muss die oben genannte DGL lösen.

Ich vermute mal, vor dem t soll ein = stehen, kein -

Mein Ansatz war Trennung der Variablen so dass ich auf:

Int(y^2/e^(y^3))dy=Int(t)dt

Das stimmt schonmal

komme. Nun habe ich z=y^3 substituiert und komme dann auf:
-e^(-z)=1,5t^2+C

Entweder übersehe ich da etwas oder es geht wesentlich einfacher:
Ich würde den Term als y^2 * e^(-y^3) schreiben.
Und dann sieht man doch sofort, dass -e^(-y^3)/3 Stammfunktion ist…

Dann hast du aber jedenfalls -e^(-y³)/3 + c = t²/2
e^(-y³) = 3c - 3t²/2
-y³ = ln(3c - 3t²/2)
y = -\sqrt[3]{\ln(3c-\frac{3t^2}2)}
Ich hoffe, ich habe mich da nicht verrechnet…

mfg,
Ché Netzer

#4

Okay vielen Dank schonmal für die wirklich schnelle Antwort:smile:

Ja das mit dem substituieren war nicht unbedingt nötig, aber sicher ist sicher :wink:…Also stimmt meine Lösung für y schon ansatzweise, nur habe ich die Konstante beim Lösen der Gleichung nicht beachtet (dachte mal gehört zu haben, dass die Konstante solche Umformungen „schluckt“, da sie dann im Endeffekt durch Anfangsbedingungen bestimmt wird)
Ist deine Lösung für y die weitest mögliche Vereinfachung? Und muss ich nicht noch sicherstellen, dass 0

#5

Okay vielen Dank schonmal für die wirklich schnelle Antwort:smile:

Ja das mit dem substituieren war nicht unbedingt nötig, aber
sicher ist sicher :wink:…Also stimmt meine Lösung für y schon
ansatzweise, nur habe ich die Konstante beim Lösen der
Gleichung nicht beachtet (dachte mal gehört zu haben, dass die
Konstante solche Umformungen „schluckt“, da sie dann im
Endeffekt durch Anfangsbedingungen bestimmt wird)

Ja, für 3c kann man natürlich auch ein \tilde c definieren, aber so geht es ja auch.

Ist deine Lösung für y die weitest mögliche Vereinfachung?

Mir fällt keine weitere ein…

muss ich nicht noch sicherstellen, dass 0

#6

Wieso denn

#7

Wieso denn

#8

Hallo zusammen.

y = -\sqrt[3]{\ln(3c-\frac{3t^2}2)}

Kleine Ergänzung: Die Konstante c ergibt sich aus der Anfangsbedingung gemäß

3c = \exp\left(-y_0^3\right)

Und statt t sollte in der Wurzel eigentlich t-t_0 stehen, also

y(t) = -\sqrt[3]{
\ln\Big[\exp\left(-y_0^3\right)-\frac{3}{2}\left(t-t_0\right)^2\Big]
}

Liebe Grüße,

TN