… veranschaulichen?
Ich kenne mittlerweile alle möglichen Definitionen, aber wie kann man sich den Unterschied zwischen (punktueller) Stetigkeit und gleichmäßiger Stetigkeit vereinfacht vorstellen?
Sonst gibts ja auch recht einfache Beispiele, wie dass man bei der Stetigkeit einer Funktion den Stift zum zeichnen nicht absetzen muss, oder dass bei der Differenzierbarkeit kein Knick in der Funktion ist.
Weiss das jemand und kanns mir ohne große Formelschubserei erklären?
Danke und Grüße,
Cerdo
Ich kenne mittlerweile alle möglichen Definitionen, aber wie
kann man sich den Unterschied zwischen (punktueller)
Stetigkeit und gleichmäßiger Stetigkeit vereinfacht
vorstellen?
Hallo Cerdo,
Punktweise stetig bedeutet, bildlich gesprochen, dass du die Funktion mit einem Stift zeichnen kannst, ohne ihn abzusetzen, dass also der Graph der Funktion zusammenhängend ist.
Gleichmäßig stetig ist eine Funktion nur, wenn sie nicht immer steiler wird. Die e-Funktion z.B. ist (punktweise) stetig, aber nicht gleichmäßig stetig - und auch nicht Lipschitz- oder Hölderstetig - denn es gibt sozusagen keine maximale Steilheit. Egal welche Steilheit du vorgibst, es wird immer einen Bereich geben, in dem die e-Funktion steiler verläuft, auch wenn sie niemals unendlich steil und damit unstetig wird.
Das nur mit Worten und ohne Formeln zu erklären, ohne dabei ungenau zu werden ist nicht so einfach, ich hoffe, ich konnte dir trotzdem helfen, dir etwas unter dem Begriff vorzustellen.
Gruß
hendrik
Verbesserung
Gleichmäßig stetig ist eine Funktion nur, wenn sie nicht immer
steiler wird.
Wie ich schon sagte: Es ist schwierig, da nicht ungenau zu werden, deshalb ein Zusatz.
Die Funktion f(x)=Wurzel(x) wird für x gegen 0 immer steiler, ist aber trotzdem gleichmäßig stetig.
Vielleicht stellst du dir gleichmäßige Stetigkeit besser so vor. Wenn du es schaffst, ein Rechteck zu konstruieren, dass du über dem Graphen der Funktion entlang schieben kannst, ohne dass der Graph dabei jemals eine der horizontalen Kanten schneidet, dann ist die Funktion gleichmäßig stetig.
Bei f(x)=Wurzel(x) kannst du z.B. ein Rechteck mit Breite 1 und Höhe 3 nehmen. Lege die linke untere Ecke auf den Punkt (0|-1) des Koordinatensystems. Der Graph der Funktion schneidet jetzt die rechte Kante des Rechtecks (und zwar im Punkt (1|1)). Das Rechteck kannst du jetzt den Graphen entlang schieben, ohne dass jemals die obere oder die untere Kante vom Graphen geschnitten wird.
Du wirst feststellen, dass das bei der e-Funktion nicht geht, ganz egal welches Rechteck du nimmst. Und der Grund dafür ist, dass die e-Funktion niemals aufhört, steiler zu werden und somit jedes Rechteck irgendwann zu schmal wird.
Gruß
hendrik
Das mit den Rechtecken verstehe ich nicht ganz. Die Exponentialfunktion ist konvex, d.h. die Höhe des Rechtecks spielt keine Rolle.
Jetzt kann man die rechte untere Ecke an einen beliebigen Punkt des Graphen legen und das Rechteck daran entlangschieben, der einzige Berührungspunkt ist der, den man selbst „erzeugt“ hat.
Ich verbinde gleichmäßige Stetigkeit einer differenzierbaren Funktion immer gerne mit beschränkter Ableitung. Wobei ich dabei gerne noch wissen würde, ob sin(1/x) und ln(x) gleichmäßig stetig sind. (Ich selbst bin zu faul zum Nachrechnen…)
mfg,
Ché Netzer
Jetzt kann man die rechte untere Ecke an einen beliebigen
Punkt des Graphen legen und das Rechteck daran
entlangschieben, der einzige Berührungspunkt ist der, den man
selbst „erzeugt“ hat.
Hi Ché,
Der Graph der Funktion soll aber durch das Rechteck durchgehen, das Rechteck soll also an der linken und an der rechten Kante vom Graphen geschnitten werden.
Ich verbinde gleichmäßige Stetigkeit einer differenzierbaren
Funktion immer gerne mit beschränkter Ableitung.
Das verwechselst du mit Lipschitz-Stetigkeit, die bedeutet bei differenzierbaren Funktionen tatsächlich beschränkte Ableitung. Es gibt allerdings auch Funktionen mit unbeschränkter Ableitung, die trotzdem gleichmäßig stetig sind.
Wobei ich
dabei gerne noch wissen würde, ob sin(1/x) und ln(x)
gleichmäßig stetig sind. (Ich selbst bin zu faul zum
Nachrechnen…)
Weder sin(1/x) noch ln(x) sind gleichmäßig stetig. Allerdings merke ich gerade, dass es da an meiner Erklärung mit dem Rechteck noch hapert, da man so ein Rechteck für sin(1/x) ja finden könnte.
Da muss ich nochmal genauer nachdenken drüber…
Gruß
hendrik
Der Graph der Funktion soll aber durch das Rechteck
durchgehen, das Rechteck soll also an der linken und an der
rechten Kante vom Graphen geschnitten werden.
Ach so, beim ersten Mal hatte ich das mit den Kanten wohl überlesen.
Das verwechselst du mit Lipschitz-Stetigkeit, die bedeutet bei
differenzierbaren Funktionen tatsächlich beschränkte
Ableitung. Es gibt allerdings auch Funktionen mit
unbeschränkter Ableitung, die trotzdem gleichmäßig stetig
sind.
Hast du dazu zufällig ein Beispiel zur Hand?
Allerdings
merke ich gerade, dass es da an meiner Erklärung mit dem
Rechteck noch hapert, da man so ein Rechteck für sin(1/x) ja
finden könnte.
Reicht es vielleicht zu sagen, dass die Breite des Rechtecks beliebig sein darf?
mfg,
Ché Netzer
Das verwechselst du mit Lipschitz-Stetigkeit, die bedeutet bei
differenzierbaren Funktionen tatsächlich beschränkte
Ableitung. Es gibt allerdings auch Funktionen mit
unbeschränkter Ableitung, die trotzdem gleichmäßig stetig
sind.Hast du dazu zufällig ein Beispiel zur Hand?
f(x)=Wurzel(x) auf ]0,1[ wäre ein Beispiel.
Reicht es vielleicht zu sagen, dass die Breite des Rechtecks
beliebig sein darf?
Eher die Höhe, darf beliebig sein. Man kann sich das Ganze wie ein Spiel vorstellen. Jemand gibt dir eine Höhe des Rechtecks vor. Du musst dazu eine Breite finden so, dass sich das entstehende Rechteck den Graphen entlang schieben lässt, ohne, dass die obere oder untere Kante geschnitten wird.
Wenn man bei sin(1/x) die Höhe 1/2 vorgibt, lässt sich so ein Rechteck nicht mehr finden. Bei Wurzel(x) lässt sich immer eines finden.
Gruß
hendrik