Hallo!
Die einfache Formel 7^X + 2 liefert scheinbar immer Ergebnisse, die ein Vielfaches von 3 sind, sofern X eine natürliche Zahl ist. Aber wie kommt das? Danke für Infos!
Gruß Rüdiger
7 x 2 + 2 = 16 … ??? (owt)
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Hallo Achim er meint wohl 7^2 = 7*7 u. 7^3=7*7*7 usw…
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Leider falsch verstanden
Hallo Achim,
nicht 7 X 2 + 2, sondern (7 hoch 2) + 2 oder (7 hoch 3) + 2 … Das X in der Formel steht also für die Potenz von 7
Gruß Rüdiger
rechnen mit rest(klass)en
hi,
7 hat bei division durch 3 den rest 1. („liegt modulo 3 in restklasse 1“)
restklassen addieren und multiplizieren sich. (sehr salopp gesprochen.)
also: restklasse x + restklasse y = restklasse (x + y)
oder: restklasse x . restklasse y = restklasse (x . y)
(das gilt nicht nur modulo 3, sondern überhaupt.)
also: da 7 in restklasse 1 liegt, liegt auch jede potenz von 7 in der restklasse 1.
2 dazu gezählt ist dann immer durch 3 teilbar.
(ODER, mit binomischem lehrsatz:
7^n = (2 . 3 + 1)^n = summe(i=0 bis n) ((n über i)(2.3)^i . 1^(n-i))
für alle i>0 sind das summanden, die alle durch 3 teilbar sind.
für i = 0 kommt 1 raus; das ist der rest von 7^n bei division durch 3.
2 dazu gezählt macht durch 3 teilbar.)
hth
m.
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Hallo Michael,
das mit den Restklassen und modulo hatte ich nie in der Schule, leider raffe ich das daher nicht. Auf alle Fälle kann man mit Deinem Modell wohl erklären, daß die Formel, die ich vorgestellt hatte, für alle natürlichen Zahlen git und das hatte mich interessiert. Kleiner Denksport im Mathebrett. Danke!
Gruß Rüdiger
hallo rüdiger,
das is nich so schwer, das raffst du schon …
schau:
nehmen wir reste bezüglich (z.b.) 6. (das ist etwas interessanter als bloß 3.)
8 hat modulo 6 den wert 2. 8 = 2 (6) schreibt man. (allerdings macht man ein gleichheitszeichen mit 3 stricheln. hab ich hier jetzt nicht.)
9 = 3 (6)
dann ist 8 + 9 = 2 + 3 = 5 (6) … stimmt auch, denn 17 = 5 (6)
oder: 8 . 9 = 2 . 3 = 6 = 0 (6) … ja, 72 ist durch 6 teilbar.
das gibt als additionstabelle modulo 6
0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
und als multiplikationstabelle modulo 6
0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1
allgemein „beweisen“ kann man das ganz einfach.
wenn x bzgl. eines moduls m den rest a hat, kann man x darstellen als
x = k . m + a (… es gibt so’n k)
ähnlich für ein y mit rest b.
y = l . m + b (… es gibt so’n l)
x + y = (km + a) + (lm + b) = (k+l).m + (a+b)
der erste summand ist durch m teilbar; die reste addieren sich.
oder
x . y = (km + a)(lm + b) = klm^2 + kbm + lam + ab
die ersten 3 summanden sind alle durch m teilbar, die reste multiplizieren sich.
nachdem potenzieren wiederholtes multiplizieren ist, gilt also
7^n = 1^n = 1 (3)
usw.
m.
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Hi,
das is nich so schwer, das raffst du schon …
schau:
nehmen wir reste …
dafür liebe ich w-w-w. 
(*)
Gruß, Rainer
thx *Bg*
leider isses nich immer so leicht.
m.
Hallo Michael,
ich war gestern abend zu müde, um noch länger auf zu bleiben, aber Danke für Deine weitere Ergänzung! Ich könnte jetzt ja sagen, daß ich das mit dem modulo nun kappiert habe, aber ich bin einfach ehrlich und sage, daß ich das immernoch nicht kappiert habe: Macht aber nichts, ich werde Deinen Beitrag ausdrucken, welcher echt gut sein muß, wenn der so schnell zwei Bewertungen bekommen hat, und wenn ich das dann nachvollzogen habe, melde ich mich wieder.
Schönen Sonntag!
Rüdiger
Ich versuch mal nen Einstieg…
Hallo Rüdiger,
hört sich wirklich komplizierter an als es ist, ich versuch mal, einen Einstieg zu geben. Also, es geht im Großen und Ganzen nur um Teilbarkeit und die Reste , die dabei bleiben.
Beispiele:
11:5 = 2 Rest 1
14:3 = 4 Rest 2
18:3 = 6 Rest 0
26:7 = 3 Rest 5
12:7 = 1 Rest 5
Sollte klar sein
Nun kommt es aber nicht darauf an, wie oft eine Zahl durch eine andere teilbar ist, sondern nur, welcher Rest bleibt. Man vergleicht nun Zahlen, indem man sie durch die gleiche Zahl teilt
->siehe die letzten beiden Beispiele
Es wird durch 7 geteilt, dann spricht man von modulo 7, oder auch mod(7). Zwei Zahlen, die nun bei der Teilbarkeit durch 7 denselben Rest lassen, gehören nun in eine Klasse (das sind jetzt z.B. 26 und 12, weil sie beide den Rest 5 lassen). Man schreibt dann:
26 = 12 (7) -> sprich: 26 kongruent 12 modulo 7.
Wie gesagt, eigentlich müsste das Gleichheitszeichen 3 Striche haben. Natürlich gilt jetzt auch (rechne es selbst mal nach):
26 = 19 (7)
26 = 5 (7)
An diese Kongruenzen kann man nun die Grundrechenarten anwenden, wie Michael in den Tabellen zeigt.
Beispiel aus der Additionstabelle: 3+5=8 ; 8 = 2 (6)
sprich: 8 ist kongruent 2 modulo 6, da 8 beim Teilen durch 6 den Rest 2 lässt (ebenso wie 2 beim Teilen durch 2 den Rest 2 lässt )
Ich hoffe, das hilft als Grundlage, wenn du Dir nochmal die anderen Postings anschaust.
Gruß Alex
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(7^x)+2 =3q q: Element Z
Induktionsanfang:
X=0 (7^0)+2 =3 w.A.
Induktionsvoraussetzung: (7^x)+2 =3q q: Element Z
Induktionsschritt: wenn für x wahr dann auch für x+1
Induktionsbehauptung: (7^(x+1))+2 =3m m: Element Z
(7^(x+1))+2 =(7^x)*7+2
da (7^x)+2 =3q gilt, kann umgestellt werden nach 7^x = 3q-2.
Das wird eingesetzt
= (3q-2)*7+2
= 21q –14 +2
= 21q-12
= 3* (7q-4)
somit ist das Ergebnis immer ein Vielfaches von 3
= 3m q.e.d.
Ich hoffe das hilft ;0)
Bye
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Hallo Alex,
mittlerweile ist ja schon der 8.11. und ich hatte gestern überhaupt keine Zeit, mich weiter mit dem modulo zu beschäftigen, auch weil ich Dienst hatte. Aber jetzt bin ich nochmal kurz online und jetzt habe ich das gerafft mit den Restklassen. Danke!
Gruß Rüdiger
Hallo,
auch ein interessanter Weg zur Lösung, welche ich auch nachvollziehen kann, während ich für die modulo-Erklärung erst noch Zeit brauche, um mich weiter damit beschäftigen zu können. Vielen Dank!
Gruß Rüdiger
Hinweis: mathematische Sonderzeichen
Hallo Michael, Alexander und andere,
das ≡ kann man per html erzeugen, indem man & equiv ; schreibt, aber ohne die Leerzeichen. Weitere Sonderzeichen gibt’s hier:
http://de.selfhtml.org/html/referenz/zeichen.htm
(Ich verlink’s auch in die Brettbeschreibung)
Gruß Kubi
oT: mathematische Sonderzeichen
hallo kubi,
danke für den hinweis.
man könnte in der brettbeschreibung auch die genauere seite
http://de.selfhtml.org/html/referenz/zeichen.htm#ben…
verlinken - wenn die hier bei w-w-w alle (oder zum größten teil) funktionieren. tun sie das? ich hatte in erinnerung, dass nicht alle html-codes akzeptiert werden.
???
m.
Hallo Michael,
man könnte in der brettbeschreibung auch die genauere seite
http://de.selfhtml.org/html/referenz/zeichen.htm#ben…
verlinken
Ich habe halt auch an Leute gedacht, die andere Zeichen darstellen möchten…
- wenn die hier bei w-w-w alle (oder zum größten
teil) funktionieren. tun sie das? ich hatte in erinnerung,
dass nicht alle html-codes akzeptiert werden.
Die Sonderzeichen-html - also alle, die von &…; eingeschlossen werden - funktionieren anscheinend. Ich habe jedenfalls noch keins getroffen, wo es nicht geht.
Gruß Kubi