es kann gut sein das die aufgabe morgen in meiner matheklausur drankommt. aber ich rechne schon seit stunden mit freunden auf verschiedene art und weise, aber finden keinen richtigen lösungsweg…
int( 1/(x+2*sqrt(4-x^2))dx
für eine lösung mit lösungsweg wäre ich euch sehr dankbar.
mfg budspencer
es kann gut sein das die aufgabe morgen in meiner
matheklausur drankommt. aber ich rechne schon seit stunden mit
freunden auf verschiedene art und weise, aber finden keinen
richtigen lösungsweg…int( 1/(x+2*sqrt(4-x^2))dx
Öffnende Klammern: 3
Schließende Klammern: 2
Ich vermute mal, du meinst das hier:
\int \frac{1}{x + 2\sqrt{4 - x^2}}dx
Obwohl das hier auch denkbar wäre:
\int \frac{1}{\left(x + 2\right) \sqrt{4 - x^2}}dx
Ich glaube, in beiden Fällen würde ich es zunächst mit y = 2sin(x) substituieren. (Einfaches Umformen wird ja höchstwahrscheinlich nichts verbessern, oder?)
mfg,
Ché Netzer
Obwohl das hier auch denkbar wäre:
\int \frac{1}{\left(x + 2\right) \sqrt{4 - x^2}}dx
Ich glaube, in beiden Fällen würde ich es zunächst mit y =
2sin(x) substituieren. (Einfaches Umformen wird ja
höchstwahrscheinlich nichts verbessern, oder?)
Ja das mein ich, da habe och wohl eine Klammer vergessen. Gut das mit y=2sin(x) ist vielleicht eine Möglichkeit, muss ich mal versuchen, aber wie kommst du darauf? Umformen reicht definitiv nicht.
Ja das mein ich, da habe och wohl eine Klammer vergessen. Gut
das mit y=2sin(x) ist vielleicht eine Möglichkeit, muss ich
mal versuchen, aber wie kommst du darauf? Umformen reicht
definitiv nicht.
Da muss man einfach wissen, dass cos^2(x) + sin^2(x) = 1, also cos(x) = \sqrt{1 - sin^2(x)}
Wenn man dann in einer Wurzel ein "1-x^2) sieht, erinnert das einen an den Sinus. Und 4 ist praktischerweise eine Quadratzahl.
mfg,
Ché Netzer
Das wir das unter der Wurzel ersetzten dachten wir auch schon. Kann ich vielleicht auch die Wurzel ziehen und das under dem Bruchstrich ausmultipilzieren und dann würde ich auf: -1/x+1/4+x/4 kommen…
mfg budspencer
\int \frac{1}{\left(x + 2\right) \sqrt{4 - x^2}}dx
Hallo Bud,
durch die bereits erwähnte Substitution bekommst du das Integral
\int\frac{2\cos(x)}{(2\sin(x)+2)2\cos(x)}\ dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sin(x)+1}\ dx
Jetzt kommt ein Standardtrick, die sogenannte tan(x/2)-Substitution.
t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)
\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}
dx=\frac{2}{1+t^2}dt
Das Integral wird dadurch zu
\frac{1}{2}\int\frac{2}{\left(\frac{2t}{1+t^2}+1\right)\left(1+t^2\right)}\ dt=\int\frac{1}{2t+1+t^2}\ dt=\int\frac{1}{(t+1)^2}\ dt
Das kriegst du jetzt bestimmt alleine integriert.
Gruß
hendrik
danke hendrik
ja den rest bekomm ich hin. Vielen dank.
mfg budspencer
??
x = \sin(y) \Rightarrow \sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 \cdot (1 - \sin^2(y))} = 2\cos(y)
Und das kürzt sich mit dem 2cos(y) aus dx = 2\cos(y)dy raus.
Bleibt noch:
\int \frac{1}{2\sin(y) + 2} dy
Vielleicht lässt es sich damit einfacher weiterrechnen.
mfg,
Ché Netzer
es sieht schon einleuchtend aus, aber ich komm da irgendwie nicht drauf… weiß nicht irgend was mach ich noch verkehrt… sorry.
aber vielen dank schon mal für die antworten das ist schon sehr gut
mfg budspencer
Meinst du damit, dass du nicht selbst auf dieses Zwischenergebnis kommen würdest oder dass du von dort aus nicht weiterkommst?
mfg,
Ché Netzer
das ich nicht dahinkommen würde. von da weiter geht eigentlich
Wie gesagt, man muss sich nur die Gleichung \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 merken. Dann sollte man noch beachten, dass das sehr gut in etwas wie \sqrt{1 - x^2} passt. Wobei man 1 auch durch eine Quadratzahl ersetzen kann. (wie gerade gezeigt)
Überhaupt würde ich empfehlen, einige Integrale auswenig zu lernen.
mfg,
Ché Netzer
Also ich habe ja [Formel: \int \frac{1}{\left(x + 2\right) \sqrt{4 - x^2}}dx]
so dann ersetze ich [Formel: x = \sin(y)]
wenn ich das dann einsetze hab ich doch aber [Formel: \int \frac{dy}{\left(sin(u) + 2\right) \sqrt{4 - sin^2(y)}]
dann kann ich doch aber nicht unter der wurzel die 4 ausklammern, oder? dann wäre das ja [Formel: \sqrt{4(1- \frac{sin^2(y)}{4}}]
oder bin ich da verkehrt
ups geht leider doch nicht so einfach die Formeln so ordentlich zu schreiben. ich hoffe du verstehst was ich mein.
so dann ersetze ich [Formel: x = \sin(y)]
Nicht ganz: x = 2 sin(y)
Dann geht das auf.
Also:
\sqrt{a - x^2} Subsitution \sqrt{a}\sin(x) = y
Oder meinetwegen auch mit dem Cosinus, das dürfte auch funktionieren…
mfg,
Ché Netzer
Ja, das geht schon.
…
So klappt das besser 
mfg,
Ché Netzer
Danke erst mal
sollte erst mal reichen.
mfg budspencer
mmh, ich weiß nicht irgendwie scheinen wir es nicht so drauf zu haben.
haben es noch versucht, aber ich glaub wir kommen mit der substitution nicht so zurecht und wie genau du das einsetzen willst. könntest du uns vielleicht die einzelnen schritte zeigen?
das wäre echt super klasse.
mfg budspencer
\int\frac{1}{(x+2)\sqrt{4 - x^2}}dx =
\int\frac{2\cos(y)}{(2\sin(y) + 2)\sqrt{4 - (2\sin(y))^2}}dy =
\int\frac{2\cos(y)}{(2\sin(y) + 2)\sqrt{4 - 4\sin^2(y)}}dy =
\int\frac{2\cos(y)}{(2\sin(y) + 2)\sqrt{4} \sqrt{1 - \sin^2(y)}}dy =
\int\frac{2\cos(y)}{(2\sin(y) + 2)2\cos(y)}dy =
\int\frac{1}{2\sin(y) + 2}dy
–
x = \sin(y)
dx = 2\cos(y)dy
\cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)}\ \ \ \forall y \in \mathbb{R}
mfg,
Ché Netzer
1 Like
Danke du bist der beste 
vielen vielen dank
und nen schönen abend noch
mfg budspencer