Wie löse ich diese Bruchterme?

Wissenschaft Mathematik
#21

Hallo! Nochmals Danke für die Antwort!

Die 4 Aufgaben wären jetzt geklärt!

Ich habe jetzt noch eine 2 allgemeine Fragen mit Beispielen zum Kürzen: (Beide Bsp sind übrigens frei erfunden!!)

(2x+3ax) / x²

Ich habe auf irgendeiner Seite im Internet (und auch hier :smile:) gelesen, dass man bei Summanden (also hier) nur kürzen kann, wenn überall mehr oder weniger das gleiche steht. Also hier beispielsweise mal das x. Wenn man jetzt kürzt, muss man dann unten das x² komplett kürzen, da ja oben auch zwei x gekürzt werden? (Ergebnis: (2+3a) / 1) Oder kann man sagen: Ich kürze jetzt überall nur EIN x, also kürze ich oben bei beiden Termen jeweils ein x, unten also auch.
Ich finde ehrlichgesagt, dass das obere logischer ist. Denn wenn man Schritt-für-Schritt kürzt (2x+3ax)/x² = (2+3ax) / x = (2+3a) / 1 kommt dasselbe wie oben heraus.

Das zweite Beispiel ist fast dasselbe:

(2a+3ax) / (x² + 5)

Hier könnte man ja (wenn ich es richtig verstanden habe) nicht mit x kürzen, da man bei der 5 keins hat. Stimmt das so? :smile:

Die letzte Aufgabe kann ich ja nochmal so genau wie möglich aufschreiben:

(2x-4) / (4x + 4)
___________________

(x²-4) / (x+1)

Das sollte ein Bruch sein, bei dem im Zähler und im Nenner dividiert wird. Das Ergebnis soll (laut meiner Lehrerin) 1 / (x+4) lauten. Ich (und ein anderer Experte) sind aber auf das gekommen: 1 / (2x+4).

Bedanke mich jetzt schon für Antworten!

Schöne Grüße, Julia =)

#22

Moin,

Beim ersten Bsp. liegst du leider falsch.
(2x + 3ax) / x^2
kann man doch auseinanderziehen zu
(2x/x^2) + (3ax/x^2)
nach kürzen:
(2/x) + (3a/x)
und wieder zusammengebracht:
(2+3a)/x

Das Schritt-für-Schritt-Kürzen von dir haut nicht hin, da die Gleichheitszeichen nicht richtig sind; links und rechts davon steht nicht das gleiche!
(Wenn du bei sowas anfangs unsicher bist, kannst du es mit beliebigen Werten schnell testen) x=3,a=5 ergäbe z.B.:
(2x+3ax)/x² = (2+3ax) / x = (2+3a) / 1
51/9 = 47/3 = 17
leider völlig falsch :wink:

Wenn du in einem Bruch Summen hast, musst du beim kürzen JEDEN dieser Summanden durch die entsprechende Zahl (hier unser x) teilen. Danach wird aber nicht zusammengezählt ob du oben oder unten mehr hast, es wird beim teilen durch x einfach jeder einzelne Summand durch x geteilt. Hat ein Summand also kein x, bringt das Kürzen nichts; das bringt uns zu deinem nächsten Beispiel :wink:

Beim zweiten Beispiel liegst du richtig, allerdings liegts genauso an dem Term ‚2a‘ im Zähler.
Hieße es z.B.:
(2a + 3ax) / (x^2 + 5x)
könntest du ebenfalls nicht einfach kürzen.
Möglich wäre hier, den Bruch wieder auseinander zu ziehen:
(2a)/(x^2 + 5x) + (3ax)/(x^2 + 5x)
kürzen kann man nur im zweiten Bruch:
(2a)/(x^2 + 5x) + (3a)/(x + 5)
und es bleiben zwei Brüche stehen.

Bei Aufgabe 4 stimme ich euch beiden zu :wink:

Hoffe das hilft,
beste Grüße :smile:

#23

Hey! Tut mir Leid, aber im zweiten Beispiel war ein Fehler drin! Das 2a sollte ein 2x sein. Damit alle Terme außer die 5 ein X haben. Könnte man kürzen (mit x) wenn bei der 5 ein x steht und das 2a ein 2x ist? Obwohl da ein a bei 3ax steht? Schöne Grüße, Julia :smile:

#24

Hallo nochmal. Mir ist da was aufgefallen: Wenn man bei x und a 3 und 5 einsetzt, kommt bei mir bei der richtigen Version 15,666…7 heraus. Wenn man das aber bei der ungekürzten Rechnung macht, kommt 5,666…7 dabei raus. Sollten die Ergebnisse nicht gleich sein oder mache ich da was falsch? :wink: Schöne Grüße, Julia =)

#25

(2x+3*a*x) / (x² + 5x)

Jepp, hier kann man kürzen.
Wieder jeden Summanden durch x, das ergibt:
(2 + 3*a) / (x + 5)
Hauptsache das x steht bei der 3 dabei, was da sonst noch alles dabei ist wird einfach mitgenommen :wink:

#26

Welche Version siehst du denn als die richtige an? :wink:

(2x + 3ax) / x^2
= […] =
(2+3a)/x
(vgl. ersten Beitrag heute)

sowohl oben als auch unten kommt 17/3 bzw. 5.6667 raus, scheint also zu stimmen :wink:

#27

Stimmt. Muss wohl irgendwo ein Fehler passiert sein :wink: . Nochmal dankeschön für alle Antworten! Schöne Grüße, Julia :smile:

#28

Hallo, nochmal :smile:

Ich benötige kurz nochmal Hilfe für zwei Aufgaben und was Allgemeines, nur um sicher zu gehen, dass ich das auch verstanden habe :wink:

  1. Bei Summanden -> nicht Schritt-für-Schritt kürzen, sondern den Bruch „auseinanderziehen“.

  2. Bei Faktoren -> man kann Schritt-für-Schritt kürzen (glaube ich), da man, wenn man für x 3 und für a 5 einsetzt, beim Ergebnis und bei der vorherigen Rechnung dasselbe heraus kommt (ich hab dafür beim oberen Beispiel das + durch ein * ersetzt)

  3. Was sollte man beim Ausklammern ausklammern? Immer das größtmögliche oder das gleiche?

  4. Kommen bei Bruchtermen, die addiert oder subtrahiert werden, immer so komische und lange Ergebnisse heraus?

Aufgabe 1 wäre:

2x+1 2-x
____ - ___

4x²-9 2x²+3x

Bei der Aufgabe bin ich mir ehrlich gesagt nicht sicher, wo die herkommt. Ich habe gestern noch in unserem Buch nachgesehen, aber ich hab sie nicht gefunden. Wahrscheinlich hab ich die auf irgendeiner Seite gesehen, wollte sie machen und bin mal wieder gescheitert :smiley: (Und ich hab sie mir auch ganz sicher nicht selber ausgedacht :wink: ) Na ja also hier versuche ich erstmal einen gleichen Nenner zu machen, dann hab ich versucht auszumultiplizieren, was ein ziemliches Chaos verursacht hat :wink:. Danach könnte man beim ersten Bruch noch durch x kürzen, aber dann weiß ich auch nicht weiter. Vielleicht konnte man vorher noch kürzen oder so… :wink: Keine Ahnung!

Nummer 2;

9x²+6x+1

18x-2

Oben binomische Formel (3x+1)² und unten kann man 2 ausklammern. Die binom. Formel hab ich dann so geschriebebn: (3x+1)*(3x+1), aber dann gings auch hier nicht weiter… :wink:

Dieses mal ist es wieder etwas länger geworden, aber ich denke die allgemeinen Fragen sind schnell beantwortet und beim zweiten Bruch fehlen wahrscheinlich nur noch 1,2 Schritte… :wink:

Ich sag nochmal Danke für die vielen Antworten!

Schöne Grüße,
Julia

#29

Nochmals Hallo :wink:

Bei Bruch Nummer zwei ist es etwas unklar mit dem Minuszeichen und den beiden Zählern: 2x+1 und 2-x sollten auseinanderstehen und zwischen den beiden Brüchen ist ein Minus :wink:

#30

Das Auseinanderziehen ist eigentlich nur eine Hilfestellung, nach etwas Übung kriegst du das auch schnell im Kopf hin :wink: Aber das Prinzip stimmt schon, wenn du dir nicht sicher bist kannst du das immer so machen und solltest auf der sicheren Seite sein.
Du kannst natürlich - und lass dich jetzt bitte nicht verwirren^^ - auch bei Summen ‚Schritt-für-Schritt‘ kürzen, du musst nur beachten, das mit wirklich jedem Summanden zu machen. Bsp.:
(2x + 7) / (8x^2 + 5x^3)
man könnte hier ein x kürzen, allerdings wird das Ganze nur ne Spur hässlicher ;D
(2 + (7/x)) / (8x + 5x^2)
Wichtig ist: Das war genau ein Schritt. Ein Schritt bedeutet, jeden Summanden einmal zu kürzen.
Du darfst bspw. nicht sagen:
(2x + 7) / (8x^2 + 5x^3) = (2 + 7) / (8x + 5x^3) ,also jeweils oben und unten ein x wegnehmen. Die Gleichung stimmt dann einfach nicht :wink:

[Ganz präzise müsste ich sagen, dass die Gleichung nicht für jedes x erfüllt ist; für x=1 würde es hinhauen, für alle Anderen aber nicht. Übrigens ein ziemlich guter Grund, generell beim Testen nicht unbedingt die 1 für einen Wert einzusetzen] 6x^2

Ist halt immer etwas Situationsabhängig; sicherlich gibt es auch irgendwelche Richtlinien, aber mit denen kann ich leider nicht dienen ;D Mit der Zeit kriegste das Gefühl dafür.

Spielen wir das Ganze mal durch :smiley:
Auf einen Nenner bringen ist immer gut:

(2x+1)*(2x^2+3x) - (2-x)*(4x^2-9)

(4x^2-9) * (2x^2+3x)

Ok, ausmultiplizieren…das wird hässlich^^

(4x^3+6x^2+2x^2+3x) - (8x^2-18-4x^3+9x)

(8x^4+12x^3-18x^2-27x)

Zusammenfassen:

8x^3 - 6x + 18

8x^4 + 12x^3 - 18x^2 - 27x

Jetzt kann man noch ein wenig ausklammern:

2*(4x^3 - 3x + 9)

x*(8x^3 - 12x^2 - 18x -27)

man kanns auch noch weiter treiben:

2*(x*(4x^2 -3) + 9)

x*(2x*(4x^2 - 6x - 9) - 27)

aber du siehst schon, schöner wirds dadurch nicht^^ Mit ganz viel Freizeit würde es sogar noch gelingen, ein x rauszukürzen, hier aber mal nur das Ergebnis, dass der Rechner ausspuckt ;D
2*(2x^2 - 3x + 3)

x*(2x + 3)*(2x - 3)
Ich kann dir so aus dem Stand auch nicht sagen wie man darauf kommt, mit etwas Geduld wird man das aber hinkriegen :wink:
Bleib also vielleicht doch besser bei den Aufgaben aus deinem Buch :smiley:

Mehr Sinnvolles kannst du meiner Meinung nach nicht machen, denke die Aufgabe kannst du abhaken :wink:

So, wirklich genug geschrieben ;D
Besten Gruß

#31

Danke für die Antwort (und die Geduld mit mir :wink: :smiley:)

Bruch Nummer 2 war glaube ich doch ein bisschen zu schwer für mich und ich denke nicht, dass unsere Lehrerin so was in der Schulaufgabe abfragt…

Ich hätte hier noch 3 Aufgaben, die ich gemacht hab, bin mir nicht sicher ob sie stimmen :wink: (Diesmal sind sie aus dem Buch! :smiley:)

6+z - 4 -36+z²-12x
---------- = ----------
3z - z-6 3z*(z-6)

D=Q/{0;6)

3a + 2 9a²+2a+6
--------- = -----------
a+3 + z-6 3a*(a+3)

D=Q/{0;-3}

Hier darf man das a von 2a und 3a nicht kürzen, oder? Weil oben ein Summand ist? (Und bei 6 kein a steht)
Und wenn man im Nenner ausmultipliziert bringt das nix, weil man nicht kürzen kann? (weil da trotzdem z. B. das a nicht „überall“ drinsteht)
Ich schreib irgendwie immer so komisch :wink: So „festlegend“ ;D
Na ja und jetzt zum letzten:

6x-6 * 3x+x 4x
-------------- = ------
4x+8 * 3*(x-1) 2x+4

Ich glaube hier sollte ich hinschreiben, wie ich da drauf gekommen bin:

  1. Das größtmögliche bei allen (außer Nenner Nummer 2) ausgeklammert
  2. Das ausgeklammerte gekürzt: 6 (Zähler 1) und 3 (Nenner 2) und bei Zähler 1 und Nenner 2 noch das x-1 weggestrichen
  3. Das Ergebnis vom Kürzen im Zähler 1 (das wäre die 2) und die vier im Nenner 1 hab ich dann gekürzt
    Zwischenergebnis wäre dann:

1*x*(3+1)

2*(x+2)*1

Das alles ausgerechnet ergibt 4x / (2x+4)

Ich bitte um kurze Korrektur oder so ;D

nur mal so am Rande… wie viel darf man denn hier in einer „Frage“ schreiben? Ich hab schon 13 Antworten :confused:

Ich versuche jetzt, um nicht aufdringlich zu wirken, mal nicht so oft zu schreiben. Vielleicht (wenns unbedingt sein muss) mal eine Aufgabe + meine Lösung oder wie ich drauf gekommen bin… oder vielleicht eine Frage zu möglichst nur einer Aufgabe zu stellen… ich kann aber nix garantieren! :smiley:

Schöne Grüße, Julia :wink:

#32

Die Brüche sind schon wieder so komisch geworden^^

Also Bruch Nummero 1 sollte so aussehen:
(6+z)-4 -36+z²-12x
________ = __________

3z - z-6 3z*(z-6)

Mir fällt gerade auf, dass bei meinem Ergebnis ein X drinsteht (bei 12) … Ich denke das sollte ein z sein.
Das -36 gehört schon zum Ergebnis (Zähler)
3z*… (Nenner) gehört auch schon zum Ergebnis

3a + 2 9a²+2a+6
--------- = -----------
a+3 + z-6 3a*(a+3)

9a² gehört zum Ergebnis
3a*… auch.

6x-6 * 3x+x 4x
-------------- = ------
4x+8 * 3*(x-1) 2x+4

4x gehört/ist das Ergebnis
und unten gehört 2x+4 dazu.

Anscheinend bring ich das nicht hin^^

Grüße, Julia :wink:

#33

Kein Problem :wink:

Wirf doch nochmal bitte einen Blick auf die linke Seite der ersten beiden Aufgaben, sollen die wirklich so aussehen? Ich rätsel hier grade rum wo vielleicht irgendwas verrutscht sein könnte; beim ersten würde ein * statt + zumindest den Nenner des Ergebnisses erklären, aber der Rest bleibt mir ein Rätsel^^ Am besten einfach nochmal mit so vielen Klammern wie möglich aufschreiben, dann sollte alles klar sein.

Davon mal abgesehen könntest du (bin jetzt wieder auf der rechten Seite) beim dritten eine 2 kürzen, sonst seh ich auch nichts mehr. Deine Erklärung beim zweiten ist ganz traumhaft, hast völlig recht ;D

Wieviel man hier schreiben darf? Keine Ahnung…bis vor ein paar Tagen die erste Mail kam wusste ich nichtmal mehr, dass ich mich hier irgendwann mal angemeldet habe ;D

Mach wie du meinst, ich denke du brauchst eh nicht mehr viel Hilfe dabei :smile: Und wenn doch: immer her mit den Fragen, wenn ich die Zeit finde kriegste du auch ne Antwort :wink:

Ist ärgerlich, dass hier die Leerzeichen geklaut werden^^ Schreibs am besten über noch mehr Zeilen,

a

b

c

d

dann hauts auf jeden Fall hin :wink: Und ganz viele Klammern! ;D

Besten Gruß

#34

Dankeschön für die Antwort :wink:

Ich versuchs nochmal, mit dem untereinander schreiben:

6+z

3z

minus

4

z-6

3a

a+3

plus

2

3a

6x-6

4x+8

mal

3x+x

3*(x-1)

Ergebnisse wären:

-36+z²-12x

3z*(z-6)

9a²+2a+6

9a*(a+3)

4x

2x+4

Oder mit 2 gekürzt:

2x

x+2

Ich hätte noch eine Bitte: Vielleicht könntest du einen Blick auf die folgende Seite werfen, ich hab da mit einer Textaufgabe zu kämpfen, hab hier bei WWW auch schon eine Frage gestellt. Wäre nett wenn du sie dir anschauen könntest :wink:
Bitte beachte am Anfang meine Rechenwege nicht, laut eines Experten darunter stimmt da anscheinend etwas nicht!

http://www.wer-weiss-was.de/app/query/display_query?..

Danke schonmal :wink:

Schöne Grüße, Julia

#35

Na bitte, sieht doch gleich ganz anders aus ;D

Tja, wie gesagt…du scheinst nicht mehr viel Hilfe zu brauchen, alle drei stimmen soweit, Daumen hoch^^

So wie es aussieht, ist dein anderes Problem in der Zwischenzeit schon gelöst worden, oder? :wink:

#36

Das „andere Problem“ wird momentan besprochen ;D Dann sage ich mal Danke für die ganzen antworten und für die Geduld! Wenn wieder was nicht klar ist, weiß ich ja wen ich anschreiben muss ;D Schöne Grüße!