Wie löse ich diese Bruchterme?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo! Wir nehmen zurzeit Bruchterme durch und die folgenden 4 Brüche verwirren mich etwas…
Bitte nicht gleich wegklicken, weil es so lang ist! Ich versuche nur alles so genau wie möglich zu schreiben und ich möchte auch nicht, dass irgendjemand meint ich würde die Aufgaben hier nur hinschreiben, weil ich zu faul bin, sie selbst zu machen. :smile:

4/x * x+4/2x

Das / sollte der Bruchstrich sein.
Zu diesem Beispiel möchte ich allgemein fragen, wann man bei Bruchtermen kürzen soll? Denn hier kann man ganz am Anfang 4 (1. Bruch) und das 2x kürzen, dann kommt 2x + 8 / x² heraus. Wenn man aber alles normal malnimmt und dann kürzt („Teilergebnis“: 4x+16/2x²) kommt das dabei raus: 20/2x.

2x/x * 5x²/3 * 6/x

Hier habe ich nur ein Ergebnis. Ich habe alles malgenommen („Teilergebnis“: 60x³/3x²) und erst dann habe ich gekürzt auf 60x/3. Muss man hier auch gleich am Anfang kürzen? Also z. B. die zwei X unten im Nenner? Ist es hier dann egal, mit welchem X im Zähler man kürzt (2x oder 5x²)?

7x/x-1 / 3x/x²-1

Ich habe hier am Anfang erstmal den Kehrbruch gemacht, dann malgenommen und 3x und 7x auf 3 und 7 gekürzt.(Teilergebnis: 7*(x²-1) / 3*(x-1) )
Meine Lehrerin hat dann bei der Verbesserung aus dem (x²-1) eine binomische Formel gemacht (Teilerg.: 7 * (x+1)*(x-1) / (x-1)*3 ) und dann kann man dieses (x-1) kürzen. wenn richtig ist, kommt dann 7x + 7 / 3 raus? Ich habe das ganze auch nochmal ohne binomische Formel gemacht, dann kommt allerdings 7x - 7 / 3 heraus, aber ich glaube das obere stimmt nicht, weil ich irgendwas mit dem (x-1) gekürzt habe…

2x-4/4x + 4 / x²-4/x+1

Bei dem Beispiel soll das Ergebnis 1 / x + 4 herauskommen. Wenn ich allerdings oben mit der binomischen Formel (x²-4) rechne und vorne (oben) 2 und (unten) 4 ausklammere und danach alles mögliche kürze, dann kommt 1 / 2x + 4 heraus.
Zu der Aufgabe möchte ich noch allgemein fragen: „Wie“ sollte man, wie bei diesem Beispiel hier, ausklammern? Sollte man immer das größtmögliche (also hier ist es einmal 2 und einmal 4) oder das gleiche (2) ausklammern?
(Wenn ich hier bei beiden 2 ausklammere, dann kommt x+1/x+2 raus, deswegen verwirrt mich das etwas!)

Sie (oder du?) brauchen nicht auf alle Aufgaben eine Antwort zu geben.
Oder nur auf die beiden „allgemeinen Fragen“ die ich hineingeschrieben habe:

Wann sollte man bei Bruchtermen kürzen (erste Aufgabe)?
Was sollte man ausklammern? Das größtmögliche oder dasselbe? (letzte Aufgabe)

Ich hoffe Sie (oder du) können mir helfen! :smile: Ich wäre sehr dankbar!

Mfg Julia :smile:

#2

Moin,

erst mal ganz allgemein: es ist einem Bruch egal, wann man ihn kürzt :wink: Ob man vor oder nach dem multiplizieren kürzt, erweitert oder was auch immer mit den Termen anstellt; solange man keinen Fehler macht kommt immer das Gleiche raus.

(2x+8)/x^2 ist richtig. Bei deinem Versuch erst alles malzunehmen kommst du auch auf ein richtiges Teilergebnis (4x+16)/2x^2, allerdings machst du beim Kürzen dann einen Fehler. Würde es (4x+16x)/2x^2 sein, könntest du ein x einfach rauskürzen und es würde 20/2x bzw. 10/x rauskommen. Allerdings steht nach der 16 kein x; die 2 kannst du noch rausziehen und kommst auf das erste Ergebnis.

Wie gesagt, die Reihenfolge ist egal. 60x/3 stimmt, die 3 könntest du noch rausziehen und kommst auf 20x.

Rest folgt hoffentlich später, muss erstmal los :wink:

#3

(2x+8)/x^2 ist richtig. Bei deinem Versuch erst alles
malzunehmen kommst du auch auf ein richtiges Teilergebnis
(4x+16)/2x^2, allerdings machst du beim Kürzen dann einen
Fehler. Würde es (4x+16x)/2x^2 sein, könntest du ein x einfach
rauskürzen und es würde 20/2x bzw. 10/x rauskommen. Allerdings
steht nach der 16 kein x; die 2 kannst du noch rausziehen und
kommst auf das erste Ergebnis.

Hallo nochmal und danke schonmal für die Antwort :smile:

Warum darf man eigentlich bei 4x+16 / 2x² nicht das x kürzen? Müsste in ALLEN Termen (also 4x, 16 und 2x²) ein x stehen, um es kürzen zu können?
Weil die 2 würde ja in jedem Term stehen…?

Wie sieht denn das dann bei anderen Brüchen aus? Muss man da dann genauso vorgehen?

Mfg Julia :wink:

#4

4/x * x+4/2x

das ergebnis 2x + 8 / x² ist richtig.

bei brüchen solltest du immer vorher kürzen dann rechnen.so bekommst du keine großen zahlen und kannst leichter rechnen.

2x/x * 5x²/3 * 6/x

auch hier solltest du erst kürzen.du kannst also die 3 mit der 6 und X zweimal kürzen.es ist auch egal welchen du mit welchem X kürzst hauptsache einer ist im nenner un der andere im zähler.

dein ergebis 60x/3 lässt sich noch kürzen, dann kommt 20x raus. 60/3 = 20

7x/x-1 / 3x/x²-1

deine Lehrerin hat die binomische formel genommen, da du dann (x-1) wegkürzen kannst. das ist auch richtig. du kannst (x-1) komplett kürzen, da du sie im nenner und im zähler hast.
am ende kommst du dann auf das ergebnis 7x+7/3.

2x-4/4x + 4 / x²-4/x+1

Wann sollte man bei Bruchtermen kürzen (erste Aufgabe)?
vor dem rechnen erst alles kürzen was zu kürzen ist.

Was sollte man ausklammern? Das größtmögliche oder dasselbe?
Versuch so zu kürzen, dass du dann 2 gleiche zahlen hast die du wegkürzen kannst.

leider habe ich nicht ganz verstanden wie die letzte aufgabe aussieht :S
du hast mehrere brüche hintereinander. soll das ein doppelbruch sein ?

fallst dir etwas unklar ist kannst du gerne nachfragen. ich hoffe es ist verständlich =)
kannst mich auch gerne duzen =)

güllü

#5

Hi :smile:

2x-4/4x+4 / x²-4/x+1

Das sind zwei Brüche die geteilt werden :wink:

Soweit ich weiß, muss man bei diesem Bruchterm ausklammern. Allerdings bin ich nicht sicher, da ich kein einziges Mal auf das Ergebnis meiner Lehrerin gekommen bin. Ich hatte mehrere Ergebnisse, aber am meisten ist bei mir 1 / 2x + 4 herausgekommen.
Und nochmal zu dem, was ich oben auch geschrieben habe: Wenn ich bei diesem 2x-4 und 4x+4 (erster Bruch) mit 2 im Zähler und 4 im Nenner ausklammere, dann kommt das obere (1 / 2x + 4) heraus.
Wenn ich allerdings beide male 2 ausklammere, kann ich weniger kürzen, was dann zum Ergebnis x+1/x+2 führt…
Und die Definitionsmenge ist dann auch nicht gleich :S

Bedanke mich jetzt schon für die Antwort :wink:

mfg Julia

#6

Genau, es müsste in allen stehen. Wenn man das eine x unbedingt noch kürzen möchte, würde das ganze dann so aussehen:
(4 + [16/x]) / 2x

Die 2 kannst du natürlich noch kürzen, also erhältst du
(2x + 8) / x^2
bzw.
(2 + (8/x)) / x

So, zu den anderen…

  1. Jepp, (7x+7)/3 stimmt.

  2. Bin etwas verwirrt, sehe 3 Möglichkeiten:

a) Tippfehler :smile:
b) Ich interpretiere die Formatierung falsch
(2x-4) / 4x + 4 / [(x^2-4)/(x+1)] ?
c) Ich blick grade nicht durch ;D

mfG

#7

Hallo Julia!

Für das Verstehen der Aufgaben ist es wichtig, genau die Prioritäten der Operatoren zu kennen. Du solltest also Klammern einfügen, um das klar zu machen.

4/x * x+4/2x

Normalerweise gilt Punktrechnung vor Strichrechnung. Außerdem scheinen die großen Zwischenräume folgende Deutung anzubieten:

((4/x)*x) + (4/(2x))

In dem Fall ist Deine Lösung nicht richtig. Es würde sich statt dessen ergeben:

= 4 + 2/x

(! Beim Kürzen müsste man eigentlich beachten, dass man Definitionslücken wegkürzen kann, was dann an diesen speziellen Stellen zu anderen Ergebnissen führen kann. Hier ist das bei ((4/x)*x) = 4 der Fall. Weil aber die Definitionslücke bei x=0 durch den zweiten Teil (2/x) immer noch vorhanden ist, ist das hier kein Problem. !)

Also, auch für die anderen Aufgaben wäre es erst einmal wichtig zu wissen, wie die Klammern gesetzt sein sollen. Dann kann man auch kürzen.

Viel Erfolg!

#8

Hallo! Danke für die Antwort, allerdings haben wir das nie so gelernt, wie sie es gemacht haben. Die ganze Rechnung soll ein Bruchterm sein, weswegen ich nicht verstehe, warum man mit Punkt vor Strich rechnen soll. Vielleicht sollte ich dazu noch sagen, dass ich in der achten Klasse bin und wir das zum ersten Mal durchnehmen… mfg Julia

#9

Hi! Die letzte Rechnung sind zwei Brüche und zwischen denen ist ein „geteilt durch“. Nochmal zu der 1. Aufgabe: Warum darf man denn das x nicht kürzen? Gibt es bei den anderen aufgaben auch so was? Wo z. B. das x in allen termen ist? Ich finde ehrlich gesagt keinen, wo das so ist :frowning: Bei nummer 2 steht das x z. B. nicht in allen termen, aber man kann es trotzdem kürzen (wenn man noch nichts malgenommen hat) … das verstehe ich nicht :frowning: mfg julia

#10

Schreib mir die 4. Aufgabe bitte nochmal mit so vielen Klammern wie möglich auf :wink:

Ich versuchs nochmal anhand von Aufgabe 2 deutlich zu machen.
Gucken wir uns die einzelnen Terme mal an:
2x/x ;hier könnte man ein x kürzen => 2x/x = 2
5x^2/3 ;im Nenner ist kein x, kürzen kann man hier nicht!
6/x ;hier fehlt das x im Zähler, ebenfalls nichts zu kürzen.

multipliziert man die letzten beiden, ergibt sich:
30*x^2 / 3x ; nun hat man oben und unten ein x, also darf man kürzen!
=> 30x^2/3x =30x/3 = 10x

Das mit dem ersten Term multipliziert ergibt
2*10x = 20x

Das klingt jetzt vielleicht etwas kompliziert, ist es aber garnicht :smile:
Also: Wenn man schon bei den einzelnen Termen kürzen darf, kann man das ruhig machen. Generell würde ich dir aber empfehlen, erstmal alles auszumultiplizieren und erst danach zu kürzen, ist für mich selbst zumindest die einfachste Methode.
Das Ergebnis ist in jedem Fall das selbe!

mfG

#11

ich weiß nicht was wir falsch machen aber ich habe auch 1/2x+4 raus =)

zuerst habe ich im nenner die 4 ausgeklammert
dann kürzen sich (x+1) weg.
dann habe ich im zähler 2 ausgeklammert somit lässt sich (x-2) kürzen.
dann ergibt sich 2/4 lässt sich kürzen = 1/2
ergebnis 1/2x+4 =)

weiss nicht was wir falsch machen tut mir leid =)

#12

Ich kann ja mal meine Lehrerin nach der Aufgabe fragen. Nach den Ferien haben wir eh eine Fragestunde :wink: lg julia :smile:

#13

Hallo Julia,

zu 1:
Zu aller erst eine Grundregel der Mathematik: In Summen kürzen nur die Dummen! (Soll keine Verurteilung sein, bitte nicht falsch verstehen!!!) Dein Teilergebniss ist soweit richtig. als nächstes würde ich die 4 im Zähler ausklammern, dann kürzen und als nächstes den Bruch auflösen.
In wieweit dein Lehrer ein Klammernergebniss akzeptiert kann ich nicht beurteilen, ggf. also Klammer auflösen.

zu 2:
Hier brauchst du nichts multilizieren. Da in dieser Gleichung kein plus- oder minus-Zeichen vorkommt, kannst du direkt kürzen. Es sollte ein Ergebnis mit einer Zehl zwischen 19 und 21 und einem x raus kommen.

zu 3:
Erster Schritt das Reziproke (Kehrbruch) des zweiten Bruches bilden. Als nächstes das Binom im Zähler des 2. Bruches auflösen. Nun kann über kreuz gekürzt werden. Übrig bleibt 7*(x+1)/3. Also zuletzt Bruch auflösen, ggf Klammer auflösen fertig.

zu 4:
Erster Schritt das Reziproke des ersten Bruches bilden. Als nächstes Binom im zweite Bruch auflösen dann bei den anderen Termen ausklammern. Nun kannst du kürzen soweit wie es geht. Übrig bleibt 2(x+2), ggf Klammer auflösen, fertig.

Viel Spass beim rechnen
Reik

#14

Hallo nochmal!

Ich hätte noch eine Aufgabe, die wir im Unterricht nicht fertig gemacht haben bzw. gar nicht angefangen haben:

9ax/x²*(7-x) * x*(7-x)/9*(a+x)

(Zwei Brüche die multipliziert werden)

Ich hab bisher kein Ergebnis, da alle Ergebnisse zu verschieden waren… also als aller Erstes würde ich dieses (7-x) kürzen (Teilergebnis wäre dann: 9ax/x² * x/9*(a+x) ). Dann würde ich dieses 9*(a+x) ausrechnen, wäre dann 9a+9x. (Muss man hier eigentlich um dieses 9a+9x eine Klammer machen, da das ganze ja mit x² malgenommen werden muss?)
Jetzt kann man ja im Zähler alles malnehmen und im Nenner auch (9ax² / x²*(9a+9x) . Ich würde jetzt erstmal das x² oben und unten kürzen. (Macht es einen Unterschied, wenn ich das zuerst kürze oder zuerst unten x²*(9a+9x) rechne?)
Jetzt wäre das Ergebnis 9a / 9a + 9x. Jetzt komme ich allerdings nicht weiter… ich kann ja nicht aus Summen kürzen (also 9a kann ich nicht kürzen). Funktioniert es auch wenn ich a kürze? Dann komme ich nämlich auf 9 / 9 + 9x…

Ich hab schon wieder viel zu viel geschrieben =)

Wäre ganz nett wenn du mir evtl. meinen Lösungsweg korrigieren könntest … :smile:

Lg Julia :wink:

#15

Hallo Julia,

dein Lösungsweg ist gut hast richtig gerechnet.
x^2 solltest du gleich kürzen.Ich habe es so gemacht, dass ich 9(a+x) nicht ausgerechnet habe , denn dann kannst du bei deiner letzten Ergebnis 9a/9(a+x) 9 kürzen und hast am Ende a/a+x raus. Das sollte dann dein Ergebnis sein.

grüße Güllü

#16

Hallo!
Danke für die Antwort!
Kann ich mein Ergebnis auch hernehmen? Dann würde ich mich leichter mit der Definitionsmenge tun. :wink:

Wenn’s dir nichts ausmacht, melde ich mich dann irgendwann mal wieder, wenn wieder etwas unklar ist =)

Lg Julia :wink:

#17

Hallo nochmal! Muss dich jetzt schon wieder anschreiben :/(nur was allgemeines mit kleinem Beispiel…) =)

Also ich hab vorhin einen Bruchterm vereinfacht:

3 - 2a / 3b
Ergebnis sollte sein: 9b-2ab/3b.

Hatten wir als Hausaufgabe auf und anscheinend war das richtig. Aber man kann da ja noch was kürzen? Wenn man 9*b - 2*a*b / 3*b schreibt, kann man das b kürzen. Allerdings steht auch im Buch eine ähnliche Aufgabe, man konnte auch kürzen aber die haben’s so stehen gelassen. Aber Warum? Hat das was mit der Definitionsmenge zu tun? (Vielleicht mit diesem „vorm Kürzen die Definitionsmenge herausfinen“?) Vielleicht könntest du mir das erklären! :smile:

und nochmal was Allgemeines:
(frei erfundenes Beispiel):

(2x-3+4x²-6x³) / 4x-9x²+10

Mal angenommen hier will man durch „x“ kürzen. Müsste man dann bei allen X in diesem Bruchterm „geteilt durch X“ rechnen? Bei wirklich allen, außer denen ohne X (z. B. 10 oder 3?)

Ergebnis wäre dann: (2-3+4x-6x²) / (4-9x+10) ?

Ich hoffe dich nervt das ganze Fragenbeantworten nicht schon, aber wir schreiben nach den Ferien eine Schulaufgabe

Schöne Grüße, Julia.

#18

Hmm, vielleicht kann ich Dir dann so nicht helfen und Du musst jeamnden Fragen, der sich die Originalaufgabe ansehen kann. Es ist durch das Aufschreiben in Textform nur mit +, -, /, * ohne die Verwendung von Klammern nicht klar, wie der Bruch ursprünglich ausgesehen hat. Eindeutig kannst Du es schreiben, wenn Du für jeden Bruchstrich den Zähler in Klammern schreibst und den Nenner in Klammern schreibst und wenn zum Verständnis nötig auch noch mal den Gesamtbruch in Klammern schreibst.

Z.B.:

5+x
----- * x
2

7x + 5

wäre zu schreiben als

(((5+x)/2) * x) / (7x + 5)

Ansonsten weiß man nicht, was genau gemeint ist.

Dein erstes Beispiel
4/x * x+4/2x
könnte z.B. so aussehen:

a)

4 4
— * x + ----
x 2x

b)

4

x*x + 4

2x

c)

4

x*x + 4

2x

…

#19

Hallo!
Danke für die Antwort, die 4 Aufgaben sind jetzt geklärt. Wenn ich nochmal eine Aufgabe habe, die ich nicht verstehe, kann ich sie ja in „Worten“ fassen!

Mfg, Julia.

#20

Nochmals Hallo :confused: Ich habe jetzt rausgefunden, dass man bei dem bsp mit den vielen x nicht kürzen kann, weil ja nicht alle terme ein x enthalten. Ich hätte jetzt ein neues Beispiel und zwar: (2x plus 3ax) / x^2 . Kann man hier das x kürzen, obwohl bei 3ax noch ein a steht? Wenn ja, wie? Indem man überall nur 1 x kürzt, und das Ergebnis (2 plus 3a)/x ist? Oder man macht es so, dass man im nenner das x^2 ganz wegkürzt, weil ja oben auch 2 x wegkommen? Ergebnis wäre dann (2 plus 3a) / 1? schöne grüße!!