Folgende Aufgabe: Ist wahrscheinlich sehr einfach, aber in meinem Buch taucht dazu nix auf…
„In dem Gebirge, dass durch f(x,y)=x^3*y beschrieben wird, befinde sich an der Stelle (1,2,f(1,2)) ein Bergsteiger, der in der Richtung des steilsten Anstiegs weiter klettern möchte. Geben sie diese Richtung an.“
Ich weiss dass ich dazu zum ersten Partiell Ableiten muss, was ja auch nicht so schwierig ist:
af(x,y)/a(x)= 3x^2*y
a2f(x.y)/axax= 6x*y
af(x,y)/a(y)= x^3
a2f(x,y)/ayay= 0
und nun muss sicherlich die funktion in der 2ten Ableitung null gesetzt werden. Und (wenn es soweit richtig ist) meine Frage ist, wie rechne ich mit Partiellen Ableitungen?
Tach,
„In dem Gebirge, dass durch f(x,y)=x^3*y beschrieben wird,
befinde sich an der Stelle (1,2,f(1,2)) ein Bergsteiger, der
in der Richtung des steilsten Anstiegs weiter klettern möchte.
Geben sie diese Richtung an.“
Ich weiss dass ich dazu zum ersten Partiell Ableiten muss, was
ja auch nicht so schwierig ist:
af(x,y)/a(x)= 3x^2*y
a2f(x.y)/axax= 6x*y
af(x,y)/a(y)= x^3
a2f(x,y)/ayay= 0
Naja, das a soll sicher das d sein… Warum leitest Du zwei Mal ab?
und nun muss sicherlich die funktion in der 2ten Ableitung
null gesetzt werden. Und (wenn es soweit richtig ist) meine
Frage ist, wie rechne ich mit Partiellen Ableitungen?
Schau dir mal bei Wiki oder sonstwo an, was ein Gradient ist. Hint: es ist ein Differentialoperator, der die Richtung der groessten Funktionsaenderung angibt. Der Gradient ist ein Vektorfeld und besteht in Deinem Fall (skalares Feld ueber |R^2) aus 2 Komponenten, naemlich den beinen partiellen Ableitungen. Sprich: Du musst lediglich die zwei kennen und die Koordinaten des Punktes einsetzen, um die Richtung (den Vektor) der grössten Funktionsänderung (in Deinem Fall: Höhe) zu bekommen.
Gruss
Paul
P.S. Die zweite Ableitung (Hesse-Matrix, dafuer braeuchtest Du allerdings noch die gemischten Ableitungen) brauchst Du, falls der Gradient an der Stelle (x_0,y_0) Null ist, um zu pruefen, ob es sich dabei um ein lokales Maximum oder Minimum handelt (oder auch nix vom beidem).
Gruss
Paul