Ich habe mal eine Frage zur Trigonometrie, die mich gerade brennend interessiert:
Wie kann man anhand der Länge der Ankathete und des Winkels ɑ die Länge der Hypothenuse und der Gegenkathete ermitteln? Und zwar ohne Zuhilfenahme trigonometrischer Funktionen, wie Arkussinus, sondern nur mit Blatt und Papier?
Kann man das nicht irgendwie aus dem Satz des Pythagoras herleiten?
also ohne die trigonometrischen Funktionen kommst du da nicht weit. Arkussinus muss es jetzt nicht unbedingt sein - für Gegenkathete und Hypotenuse reicht dir auch der Kosinus oder Tangens.
Eine zusätzliche Seite brauchst du auf jeden Fall noch, da der Satz des Phytagoras sonst eine Gleichung mit zwei Variablen wäre und somit nicht eindeutig zu lösen.
Ja, du hast natürlich recht. Für den Satz des Pythagoras schon…
Aber ich habe irgendwie die Vorstellung, dass es möglich sein muss, alleine anhand dieser beiden Angaben an ein Ergebnis zu kommen, da eine solche Abbildung bijektiv wäre.
Man hat ja den 90° Winkel und den Winkel ɑ und dann noch die Ankathete. Das heißt die beiden freien Strecken des Dreiecks können sich nur noch an einem einzigen Punkt treffen. Und damit ist deren Länge auch schon bestimmbar…
Weißt du, wie ich das meine? Da müsste es doch eine einfache Exponentialfunktion oder sonst etwas in der Richtung geben. Kosinus und Tangens kann ich nicht verwenden, da ich ja nur eine einzige Strecke (die Ankathete) zur Verfügung habe. Für deren Berechnung fehlt mir die jeweils zweite Strecke.
Aber ich habe irgendwie die Vorstellung, dass es möglich sein
muss, alleine anhand dieser beiden Angaben an ein Ergebnis zu
kommen, da eine solche Abbildung bijektiv wäre.
Geht ja auch.
Weißt du, wie ich das meine? Da müsste es doch eine einfache
Exponentialfunktion oder sonst etwas in der Richtung geben.
Die komplexe e-Funktion kann das. Ist aber nicht wirklich einfacher als ein Cosinus.
Kosinus und Tangens kann ich nicht verwenden, da ich ja nur
eine einzige Strecke (die Ankathete) zur Verfügung habe. Für
deren Berechnung fehlt mir die jeweils zweite Strecke.
Eine Seite, ein Winkel. Genau die passenden Eingabewerte für Winkelfunktionen. Es gibt kein Argument, hier keine Winkelfunktionen zu verwenden, außer „ich will versuchen, es ohne zu schaffen“. Viel Glück dabei, mir ist kein Weg bekannt (Taylorreihen und andere Sinusentwicklungen sind schliesslich auch nicht viel mehr als alternative Schreibweisen der selben Funktion).
Es gibt kein Argument, hier keine
Winkelfunktionen zu verwenden, außer „ich will versuchen, es
ohne zu schaffen“.
Ja, genau, das war mein Plan:
Im Mathematik-Duden stand unter „Trigonometrie“: „Die Werte von sin, cos und tan sind für die Winkel 30°, 45° und 60° leicht mit Hilfe des Satzes von Pythagoras zu berechnen.“
Als ich das gelesen hatte, habe ich mich gefragt, wie die das wohl gemacht haben - empirisch? Außer für 45° fällt mir da nichts ein, wie ich sowas denn machen würde… Aber anscheinend liegt’s dann doch nicht an mir.
Vielen Dank, dass Ihr euch mein Problem angeschaut und geantwortet habt.
Mir würde jetzt spontan noch einfallen es zeichnerisch zu lösen.
Es handelt sich um den Kongruenzsatz WSW, also Dreieck konstruieren und die fehlenden Seiten ausmessen. Im Rahmen der Messgenauigkeit ist dies aber leider nicht exakt.
Rechnerisch fällt mir keine andere Möglichkeit als die Trigonometrie ein.
rechnerisch (h/g/a = Länge der Hypothenuse/Gegenkathete/Ankathete):
g = a \tan\alpha
h = \frac{a}{\cos\alpha}
Unrechnerisch: Das Dreieck konstruieren und anschließend seine Seiten mit einem Lineal abmessen.
Zu Deiner Frage nach sin(30°): Ganz easy! Mal Dir ein gleichseitiges Dreieck (alle Seitenlängen = L) auf und teil es durch eine Gerade mittig in zwei Hälften. Dadurch entstehen zwei zueinander spiegelsymmetrische Teildreiecke, jedes mit den Innenwinkeln 30°, 60° und 90° und den Seitenlängen L, 1/2 L und nach dem Satz des Pythagoras 1/2 √3 L. Daraus folgt sofort
es lassen sich noch mehr Werte berechnen und zwar mit den Additionstheoremen (bzw. falls du komplexe Zahlen kennst: mit der komplexen e-Funktion). Falls du es mal versuchen willst: 15° ist relativ leicht zu knacken.
In den Fällen in denen das nicht hilft musst du wohl auf numerische Methoden zurückgreifen.
