Guten Abend
Ich bin auf folgende Frage gestoßen
Finde alle ganzen Zahlen n für die gilt n^2-3 ist ein ganzzahliges vielfaches von n+3.
Wer kann mir erklären wie ich das rechnen muss ich komme nur auf 3 und (-1), durch ausprobieren
danke schon mal
T-mac
Also n ist Element aus Z mit n ungleich 3.
Nach Polynomdivision kommt heraus, dass (n^(2)-3)
n+3)=n-3+6/(n+3).
(n+3)*ganzzahliges Vielfaches=(n^(2)-3).
Vielfaches aus Polynomdivision ist n-3+6/(n+3) und da n eine natürliche Zahl ist wird 6/(n+3) (und damit der ganze Ausdruck n-3+6/(n+3)) nur ganzzahlig, 6 duch -1, -2, -3, -6, 1, 2, 3 (6 fehlt, da 6 ungleich 3 ist) geteilt wird, also n jeweils n+3=-1, -2…
Also nach dem Rechenweg wird das Problem des Probierens nur eine Ebene tiefer bzw. übersichtlicher dargestellt, mir fällt aber sonst nichts ein, wie man das umgehen könnte.
Gibt es da noch einen anderen Weg, das Probieren komplett zu umgehen?
Vielen Dank
Hallo Tim,
Also n ist Element aus Z mit n ungleich 3.
warum ungleich 3?
Nach Polynomdivision kommt heraus, dass
(n^(2)-3)
Richtig, (n^2-3) ist ganzzahliges Vielfaches von (n+3) genau dann, wenn n-3 + 6/(n+3) ganzzahlig ist, also wenn auch 6/(n+3) ganzzahlig ist. Das ist aber nur ganzzahlig, wenn (n+3) ein Teiler von 6 ist. Alle Teiler von 6 sind die trivialen Teiler ±1, sowie die Kombinationen mit den Primfaktoren: 6 hat die Primfaktoren 2 und 3. Und so weiter … (so fällt das Probieren weg).
Gruß
Andreas
hi,
Finde alle ganzen Zahlen n für die gilt n^2-3 ist ein
ganzzahliges vielfaches von n+3.Wer kann mir erklären wie ich das rechnen muss ich komme nur
auf 3 und (-1), durch ausprobieren
per tabellenkalkulation kann man einige lösungen rauskriegen, wenn n und der „vielfachfaktor“ wirklich ganzzahlig (also auch negativ) sein dürfen:
lösungen: -9, -6, -5, -4, -2, -1, 0, 3.
eine teillösung hast du ja schon bekommen:
n²-3 = (n+3).(n-3)-6
also:
(n²-3)/(n+3) = n-3 - 6/(n+3)
wenn das ganzzahlig sein soll, muss 6/(n+3) ganzzahlig sein. das ist für n>3 sicher nie der fall. über n>3 kann es also keine weiteren lösungen geben.
ebenso kann 6/(n+3) für n unter -9 nicht ganzzahlig werden. für n
hi,
eine teillösung hast du ja schon bekommen:
n²-3 = (n+3).(n-3)-6
sorry: +6.
also:
(n²-3)/(n+3) = n-3 - 6/(n+3)
und auch hier:
(n²-3)/(n+3) = n-3 + 6/(n+3)
rest passt wieder:
wenn das ganzzahlig sein soll, muss 6/(n+3) ganzzahlig sein.
das ist für n>3 sicher nie der fall. über n>3 kann es also
keine weiteren lösungen geben.ebenso kann 6/(n+3) für n unter -9 nicht ganzzahlig werden.
für n
Hallo Tim,
Also n ist Element aus Z mit n ungleich 3.
warum ungleich 3?
Stimmt, das muss n ungleich -3 heißen, da n+3 sonst 0 und durch 0 darf man nicht teilen.