Hallo Yedi!
Der Einfachheit und auch vom thematischen Gesichtspunkt her antworte ich einfach wieder ganz oben. Hab das jetzt durchgerechnet, schreibe aber erst noch einmal die Voraussetzungen auf:
Du möchtest die Anzahl aller Drei- bzw. Vierklänge, die sich aus Tönen einer Dur- oder Molltonleiter ohne Alteration bilden lassen, so wie z.B. C-D-Fis (in G-Dur) oder C-Des-As-Bb (in As-Dur). Dabei spielt die Umkehrung keine Rolle.
Lösung: Es gibt 170 solcher Dreiklänge und 230 solcher Vierklänge.
Lösungsweg: Dein Vorgehen, einen Dreiklangskatalog aufzustellen und zu jeder Tonart alle Möglichkeiten zu finden, schließlich die gleichen Akkorde in verschiedenen Tonarten zu eliminieren, führt sicher auch zum Ziel; allerdings finde ich es zu kompliziert. Ich hab mir folgendes überlegt:
– Zuerst wähle ich irgendeinen Ton. Dafür hab ich zwölf Möglichkeiten.
– Jetzt wähle ich einen zweiten Ton. Dafür hab ich nur noch 11 Möglichkeiten.
– Durch diese beiden Töne habe ich nun das weitere Tonmaterial beschränkt, denn habe ich z.B. c und e gewählt, so kommen diese nur in den Tonleitern von C-Dur, F-Dur und G-Dur (und den parallelen Molltonarten) vor – der dritte Ton ist also ein d, f, fis, g, a, be oder h, also einer von 7 möglichen Tönen. Für jede beliebige große Terz (und auch c-as wäre eine große Terz, da ja Umkehrungen keine Rolle spielen sollen) habe ich also nur 7 verschiedene Töne für den dritten Ton zur Verfügung (für c-as müsste ich halt alles 4 Halbtonschritte nach unten transponieren, hätte als mögliche Tonarten As-Dur, Des-Dur und Es-Dur sowie die Parallelen und als mögliche dritte Töne be, des, d, es, f, ges oder g).
– Das muss ich jetzt für jedes Intervall aufschlüsseln (es sind ja nur k2 bis ü4), um meine Möglichkeiten zu überschauen.
– Für den vierten Ton mach ich den letzten Schritt noch einmal. Ich habe z.B. am Anfang c und e gewählt und mich nun für f entschieden. Damit fällt die Möglichkeit „G-Dur“ weg und ich habe nur noch 5 mögliche vierte Töne.
Meine Tabelle dazu sieht so aus:
**1. Ton 2. Ton 3. Ton 4. Ton**
12 Mgl.––+––k2: 2 Mgl.––––––––––––––– 6 Mgl.--+-- 2 legen TA fest---- 4 Mgl.
| (z.B. e-f |
| vorh. in C, F +-- 4 lassen TA offen - 5 Mgl.
| = 8 Töne i. d. Tonleitern
| – 2 bereits verwendet = 6.
| 2 (h+be) legen Tonart fest)
|
+--g2: 2 Mgl.--------------- 9 Mgl.--+-- 2 legen TA fest---- 4 Mgl.
| (z.B. c-d |
| vorh. in C,Bb,G,F,Eb +-- 2 haben 2 mgl. TA-- 5 Mgl.
| = 11 Töne i. d. TL |
| – 2 verwendet = 9. +-- 2 haben 3 mgl. TA-- 6 Mgl.
| 2 (f#,ab) legen TA fest, |
| 2 (eb,h) lassen 2 TA zu +-- 2 haben 4 mgl. TA-- 7 Mgl.
| 2 (e,bb) lassen 3 TA zu |
| 2 (f,a) lassen 4 TA zu +-- 1 lässt TA offen--- 8 Mgl.
| 1 (g) lässt TA offen)
|
+--k3: 2 Mgl.--------------- 8 Mgl.--+-- 2 legen TA fest---- 4 Mgl.
| (z.B. h-d |
| vorh. in C,G,D,A +-- 2 haben 2 mgl. TA-- 5 Mgl.
| = 10 Töne i. d. TL |
| – 2 verwendet = 8. +-- 2 haben 3 mgl. TA-- 6 Mgl.
| 2 (f,g#) legen TA fest, |
| 2 (c,c#) lassen 2 TA zu, +-- 2 lassen TA offen-- 7 Mgl.
| 2 (f#,g) lassen 3 TA zu
| 2 (e,a) lassen alle TA zu
|
+--g3: 2 Mgl.--------------- 7 Mgl.--+-- 2 legen TA fest---- 4 Mgl.
| (z.B. c-e |
| vorh. in C,F,G +-- 2 haben 2 mgl. TA-- 5 Mgl.
| = 9 Töne i. d. TL |
| – 2 verwendet = 7. +-- 2 lassen TA offen-- 6 Mgl.
| 2 (f#,bb) legen TA fest,
| 2 (f,h) lassen 2 TA zu,
| 3 (d,g,a) lassen 3 TA zu.
|
+--r4: 2 Mgl.---------------10 Mgl.--+-- 2 legen TA fest---- 4 Mgl.
| (z.B. c-d |
| vorh. in C,Bb,Ab,G,F,Eb +-- 2 haben 2 mgl. TA-- 5 Mgl.
| = 12 Töne i. d. TL |
| – 2 verwendet = 10. +-- 2 haben 3 mgl. TA-- 6 Mgl.
| 2 (f#,db) legen TA fest, |
| 2 (ab,h) lassen 2 TA zu +-- 2 haben 4 mgl. TA-- 7 Mgl.
| 2 (e,eb) lassen 3 TA zu |
| 2 (a,bb) lassen 4 TA zu +-- 2 haben 5 mgl. TA-- 8 Mgl.
| 2 (d,f) lassen 5 TA zu)
|
+--ü4: 1 Mgl.--------------- 5 Mgl.------------------------- 4 Mgl.
(z.B. h-f
vorh. _nur_ in C
= 7 Töne i. d. TL
– 2 verwendet = 5.)
Jetzt muss man das alles multiplizieren und addieren (also für Dreiklänge rechne ich 12*2*6+12*2*9+12*2*8+12*2*7+12*2*10+12*1*5, für Vierklänge wird’s etwas länger). Dabei hat man jetzt aber jeden Dreiklang 6mal und jeden Vierklang 24mal gezählt (z.B. C-Dur-Akkord: Zuerst c gewählt, dann e, dann g oder zuerst e, dann g, dann c usw. usf.), also muss ich das Ergebnis bei den Dreiklängen noch durch 6 und bei den Vierklängen noch durch 24 teilen, und wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt das obige Ergebnis heraus.
Schöne Grüße
Immo
P.S. Wenn Du möchtest, dass z.B. Nullakkorde vorkommen, musst Du Deine Voraussetzungen ändern. Ich könnte mir z.B. sehr gut vorstellen, harmonische und melodische Molltonleitern zuzulassen.
