Wir haben einen Zylinder welcher einen durchmesser von 500 mm und eine höhe von 1500 mm hat. Darin sollten 4000 PVC-Bälle platz haben. Wie gross müssen die Bälle sein?
kann mir jemand helfen. danke
- Berechne das Volumen des Zylinders
- Berechne den von einer Kugel mit gegebenem Radius r benötigten Platz bei einer idealen Packung (man kann recherchieren, wie die entsprechende Formel lautet).
- Setze die Größen in Beziehung, um r zu berechnen
- Idealerweise muss man noch ein bisschen abziehen, weil der Raum nicht vollständig genutzt werden kann - aber ich wüsste nicht, wie man das berechnen soll.
Bombadil2
Wir haben einen Zylinder welcher einen durchmesser von 500 mm
und eine höhe von 1500 mm hat. Darin sollten 4000 PVC-Bälle
platz haben. Wie gross müssen die Bälle sein?
kann mir jemand helfen. danke
du rechnest pi x (250mm)² x 1500mm/ 4000=73631mm³
das ist das volumen, das eine kugel in anspruch nehmen darf.
jetzt tun wir so, als sind das alles würfelähnliche quader. dann ziehst du die 3 wurzel und das ergibt die kantenlänge von ca.42mm.
im idealfall dürften also 4000 kugeln mit einem durchmesser von ca. 42mm platz haben. da die kugeln aber nie genau genau übereinanderliegen, kann das auch abweichen.
auf jeder 2. lage sind weniger kugel.
die abweichung dürfte jedoch kleiner werden, je mehr bälle es sind(wenn sie geringe reibungskoeffizienten haben), weil dadurch, dass die kugel nicht genau übereinanderliegen, platz gespart wird, der oben drauf frei wird.
jetzt tun wir so, als sind das alles würfelähnliche quader.
das gerade nicht: Kugeln liegen nicht wie Quader übereinander, sondern „auf Lücke“, das ist ein deutlicher Unterschied. Im Gegensatz zu dir wissen das die Kugeln und legen sich von selbst richtig.
Gruss Reinhard
jetzt tun wir so, als sind das alles würfelähnliche quader.
das gerade nicht: Kugeln liegen nicht wie Quader übereinander,
sondern „auf Lücke“,
das schrieb ich eigentlich auch. kugeln legen sich zwischeneinander, so dass sie den raum besser ausfüllen. es befinden sich auf 3 kugeln nur 2. auf diesen 2 dann wieder 3, wenn man es in 2-d betrachtet.
hat man in 3-d auf der ersten ebene 200 kugeln. dann sind es auf der 2. ebene weniger. genau dadurch, dass man aber platz spart, weil sich die kugel ja zwischeneinander legen, wird oben mehr platz frei.
das ist ein deutlicher Unterschied.
sicher gibt es eine abweichung zwischen ordentlich angeordneten würfeln und willkürlich fallenden kugel, aber eine näherung sollte das trotzdem sein. wie deutlich der unterschied ist, wäre herauszufinden.
Wir haben einen Zylinder welcher einen durchmesser von 500 mm
und eine höhe von 1500 mm hat. Darin sollten 4000 PVC-Bälle
platz haben. Wie gross müssen die Bälle sein?
kann mir jemand helfen. danke
bei einem Füllfaktor von 0,64 bei zufällig angeordneten Kugeln sollten diese 28,2 mm Durchmesser haben.
Gruß
T.
Hallo,
das ist durchaus ein kompliziertes mathematisches Problem:
http://de.wikipedia.org/wiki/Theorie_der_endlichen_K…
Besonders spannend sind da die Kapitel „Wurstkatastrophe“ und „Wurstvermutung“.
Gute Nacht.
Olaf
sicher gibt es eine abweichung zwischen ordentlich
angeordneten würfeln und willkürlich fallenden kugel, aber
eine näherung sollte das trotzdem sein. wie deutlich der
unterschied ist, wäre herauszufinden.
Hallo,
deine Quaderkugeln füllen den Raum zu 52 %, die dichteste Kugelpackung zu 74 %. Besonders nah ist diese Näherung also nicht.
Gruss Reinhard
Lösung
Das Volumen des Zylinders beträgt:
294524311,3 mm³
Die dichteste Kugelpackung kann maximal ca. 74% Raum erfüllen! (gilt nur für unbegrenzten Raum)
Das heißt; wenn die Kugeln zusammen ein Volumen von mehr als 218089506,2 mm³ haben, können sie auf keinen Fall in den Zylinder passen!
Das absolut maximale Volumen für eine Kugel ist somit 218089506,2 mm³/4000 = 54522,4 mm³ und der maximale Durchmesser demnach 47 mm.
Nun ist es aber so, daß man nur 84 solcher Kugeln dicht in eine kreisförmige Ebene mit d=500 mm legen kann. (konnte ich nur probieren, vielleicht kann es ja einer besser)
Auf diese Schicht kommt um 30 Grad verdreht eine gleiche Schicht und so weiter (dichteste Kugelpackung).
Man braucht also 48 Schichten um alle Kugeln unterzuringen.
Jede Schicht ist um die Höhe des von 3 Kugeln gebildeten Tetraeders höher, als die vorhergehende Schicht.
Also um ~38,38 mm. Die erste Schicht benötigt eine Höhe von 47 mm. Plus die weiteren 47 Schichten kommt man dann auf eine Höhe von ~1850 mm. Aber so hoch ist der Zylinder nicht!
Demnach müssen die Kugeln kleiner sein.
Die nächst dichteste Kreispackung in einer Ebene habe ich mit 102 Kugeln gefunden, deren Durchmesser ~45,26 mm ist. Es liegen versetzt zueinander in Reihe je 4,7,8,9,10,11,10,11,10,9,8,5 Kugeln, also 102 Stück.
Die nächste Schicht genauso um 30 Grad gedreht, so daß jede Kugel mittig auf drei untere zu liegen kommt.
Dazu braucht man mindestens 40 Schichten die erste hat eine Höhe von 45,26 mm, jede weitere braucht ~36,96 mm (Höhe des Tetraeders), zusammen also ~1486,75 mm
Das reicht aus! Es ist in der oberen Schicht sogar noch Platz für 80 weitere Kugeln
Auf diese Weise erreiche ich eine Raumerfüllung von ca. 67,2%.
Möglich, daß es noch eine optimalere Lösung gibt.
Zumindest kann ich die Lösung eingrenzen.
Der Durchmesser der Kugeln liegt auf jeden Fall zwischen 45,26787 mm und 47,04629
Nachtrag Raumerfüllung
Die Raumerfüllung für meine oben genannte Lösung von 67,2% gilt natürlich wenn man die 80 noch möglichen Kugeln noch draufpackt.
Ohne diese nur mit 4000 Kugeln liegt sie aber immerhin noch bei 66%
Bin Neugierig, ob das noch zu toppen ist.
1 Like
bei einem Füllfaktor von 0,64 bei zufällig angeordneten Kugeln
sollten diese 28,2 mm Durchmesser haben.Gruß
T.
?? ich komme auf 44,8 mm Durchmesser
sicher gibt es eine abweichung zwischen ordentlich
angeordneten würfeln und willkürlich fallenden kugel, aber
eine näherung sollte das trotzdem sein. wie deutlich der
unterschied ist, wäre herauszufinden.Hallo,
deine Quaderkugeln füllen den Raum zu 52 %, die dichteste
Kugelpackung zu 74 %. Besonders nah ist diese Näherung also
nicht.
ich muss gestehen, dass ich radiolarias rechnung nicht überprüft habe, aber wenn die stimmt … und torstens änderung auch korrekt ist, verdient meine annäherung durch eine 1-zeilige formel ein sternchen…
…oder auch 2
?? ich komme auf 44,8 mm Durchmesser
Du hast Recht, bei mir war eine 2 zuviel unter der Wurzel.
du rechnest pi x (250mm)² x 1500mm/ 4000=73631mm³
das ist das volumen, das eine kugel in anspruch nehmen darf.
jetzt tun wir so, als sind das alles würfelähnliche quader.
dann ziehst du die 3 wurzel und das ergibt die kantenlänge von
ca.42mm.
Einspruch! Die Würfel müßten in diesem Fall das Volumen lückenlos füllen und das können sie nicht, weil sie sich in einem runden Zylinder befinden und zwangsläufig Lücken bleiben.
im idealfall
Was für ein Idealfall? Das kein Idealfall, sonder ein AufJedenFall!
dürften also 4000 kugeln mit einem durchmesser
von ca. 42mm platz haben.
Wieso schließt Du von Würfelkantenlängen auf Kugeldurchmesser?
Hier gehst Du noch von der einbeschreibenden Kugel eines Würfels aus und einer kubischen Lage, wie im Kochsalzgitter (was für eine Raumverschwendung), und weiter unten fängst Du an dies, Pi mal Daumen, zu relativieren. Grobe Schätzwerte.
da die kugeln aber nie genau genau
übereinanderliegen, kann das auch abweichen.
auf jeder 2. lage sind weniger kugel.
Auch das ist nicht zwangsläufig der Fall, in dem von mir als Lösung beschriebene Möglichkeit hat zum Beispiel jede Schicht gleich viele Kugeln!
die abweichung dürfte jedoch kleiner werden, je mehr bälle es
sind(wenn sie geringe reibungskoeffizienten haben),
Was hat jetzt die Reibung damit zu tun? Es wird ja nicht gefordert, daß die Kugeln von selber ihren Weg finden, die können auch sorgfältig von Hand sortiert werden.
weil
dadurch, dass die kugel nicht genau übereinanderliegen, platz
gespart wird, der oben drauf frei wird.
Diese ganzen Rechenüberlegungen könnte man sich bei der Ungenauigkeit gleich sparen und Kugeln von 10 mm Durchmesser fordern, die haben schnell geschätzt auf jedenfall Platz.