Wie viele Dreiecke?

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Man zeichne zuerst ein Dreieck ABC, egal ob stumpfwinklig, gleichseitig, etc…
Danach ziehe man von dem Punkt A fünfundzwanzig Striche auf die Seite
BC und von dem Punkt B fünfundzwanzig Striche auf die gegenüberliegende Seite AC.

Wie viele Dreiecke sind so entstanden?

Wie viele Dreiecke entstehen wenn man n Striche von A zu BC und n Striche von B zu AC zieht?

(Wie im Rätsel vorher soll die Zeichenebene 2dimensional und euklidisch sein und die Dreiecke dürfen sich überlappen und verschachtelt sein)

Viel Spaß!

Roman

#2

Wie viele Dreiecke entstehen wenn man n Striche von A zu BC
und n Striche von B zu AC zieht?

Es würde mich überraschen, wenn es richtig wäre:

2(n+1)

Nur unter den jeweiligen Ecken bilden sich Dreiecke (n+1). Abzüglich eines gemeinsamen Dreiecks zwischen A und B. Zuzüglich dem Dreieck ABC.

#3

Nur unter den jeweiligen Ecken bilden sich Dreiecke (n+1).
Abzüglich eines gemeinsamen Dreiecks zwischen A und B.
Zuzüglich dem Dreieck ABC.

Zeichne es am besten mal mit n=4 auf!

Es entsteht nämlich ein muster, in dem sich noch mehr dreiecke
verstecken und die müssen auch mitgezählt werden.

Zur kontrolle damit du siehst was ich meine:
bei n=1 gibt es 8 dreiecke.

Roman

#4

(spoiler) Lösung
Hallo Roman,

wenn ich korrekt zusammengefasst habe (n+1)^3, also bei n=25 somit 17576.

Zum Weg maile ich erst morgen früh etwas, damit noch mehr sich den Kopf zerbrechen dürfen. Wer einen Tip braucht: getrennt zählen, welche Dreiecke enthalten Punkt A, welche Punkt B, welche beide?

Ciao, Holger

PS: Verrätst Du mir deine Quelle für die Aufgaben? Die beiden bisherigen wären geeignet als Übungen in einer Vorlesung zu Kombinatorik.

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#5

Es entsteht nämlich ein muster, in dem sich noch mehr dreiecke
verstecken und die müssen auch mitgezählt werden.

Achso, inklusive der Dreiecke, die sich aus einer Verkürzung ergeben. Okay, dann paßt es natürlich gar nicht.

#6

Hallo,

wenn ich korrekt zusammengefasst habe (n+1)^3, also bei n=25
somit 17576.

Genau!

PS: Verrätst Du mir deine Quelle für die Aufgaben? Die beiden
bisherigen wären geeignet als Übungen in einer Vorlesung zu
Kombinatorik.

Das zweite Rätsel habe ich in abgewandelter Form in einem Matherätselbuch gefunden, ich weiß aber leider nicht mehr wie es heißt! Wenn ich es wieder finde, schreibe ich dir eine mail.

Das erste Rätsel (mit den eine Millon Dreiecken) habe ich mir dann
einfach so ausgedacht.

Roman

#7

Das zweite Rätsel habe ich in abgewandelter Form in einem
Matherätselbuch gefunden, ich weiß aber leider nicht mehr wie
es heißt! Wenn ich es wieder finde, schreibe ich dir eine
mail.

Gefunden!
„Mensch, ärgere dich nicht - 72 Kopfnüsse und Knobeleien für jede Gelegenheit“ von Heinrich Hemme
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Roman

#8

Man zeichne zuerst ein Dreieck ABC, egal ob stumpfwinklig,
gleichseitig, etc…
Danach ziehe man von dem Punkt A fünfundzwanzig Striche auf
die Seite
BC und von dem Punkt B fünfundzwanzig Striche auf die
gegenüberliegende Seite AC.

Wie viele Dreiecke sind so entstanden?

Wie viele Dreiecke entstehen wenn man n Striche von A zu BC
und n Striche von B zu AC zieht?

(Wie im Rätsel vorher soll die Zeichenebene 2dimensional und
euklidisch sein und die Dreiecke dürfen sich überlappen und
verschachtelt sein)

Viel Spaß!

Roman

Hallo Roman,

wenn ich korrekt zusammengefasst habe (n+1)^3, also bei n=25
somit 17576.

Zum Weg maile ich erst morgen früh etwas, damit noch mehr sich
den Kopf zerbrechen dürfen. Wer einen Tip braucht: getrennt
zählen, welche Dreiecke enthalten Punkt A, welche Punkt B,
welche beide?

Hallo,

okay, hier meine komplette Lösung:

  1. Nehmen wir an, ein Dreieck enthalte weder den Punkt A noch den Punkt B. Wir schauen uns eine der Ecken an, dort kreuzen sich eine Linie aus A kommend und eine aus B kommend, schauen wir uns nun eine weitere Ecke an, diese liege nun auf der Linie aus A (wegen der Symmetrie der Bezeichnungen können wir dies annehmen), durch diese Ecke geht nun nur eine weitere Linie aus B, also muß der dritte Punkt der Schnittpunkt dieser Linie und der Linie durch B und den ersten Punkt sein, also B. Das heißt, dass doch jedes Dreieck den Punkt A oder B enthalten muß.

  2. Ein Dreieck enthalte nur den Punkt A, nicht B.
    Sei P ein zweiter Punkt des Dreiecks, dann ist P der Schnittpunkt einer Linie aus A und einer Linie aus B, diese muß nun auch den dritten Punkt Q des Dreiecks enthalten. Jedes Dreieck das den Punkt A enthält hat also zwei weitere Punkte auf einer Linie durch den Punkt B. Davon gibt es n+1 viele (die Linie durch B und C nicht vergessen!) mit jeweils n+1 möglichen Punkten. Damit gibt es (n+1) * (n+1 über 2) = (n+1) (n+1) (n) /2 viele Dreiecke die nur Punkt A enthalten.

  3. Ein Dreieck enthalte nur den Punkt B, nicht A.
    Analog wie in 2. gibt es davon auch (n+1) (n+1) (n) /2 viele.

  4. Ein Dreieck enthalte Punkt A und B.
    Dann gibt es (n+1)*(n+1) viele weitere dritte Punkte in denen sich jeweils eine Linie aus A und eine aus B kreuzen.

Alles zusammen: 2 * (n+1) (n+1) (n) /2 + (n+1)^2 = (n+1)^3.

Ciao, Holger

PS: Danke für den Titel, ist bereits notiert :smile: