Hallo Mathematiker !
Ich hab’ ein kleines Problem bei folgender Aufgabe : Der Graph einer punktsymmetr. Funktion 5. Grades hat bei P(1/8) einen Sattelpunkt. Wie lautet die Funktionsgleichung ?
P(1/8) : 8=a5+a3+a1+a0 (nur ungerade Exponenten, da punktsymm.)
f’’(x)=0 : 0=20a5+6a3 (2.Ableitung =0, da Wendepunkt?)
f’(x)=0 : 0=5a5+3a3 (1.Ableitung =0, da waagr. Tangente).
Aber da fehlt doch etwas? 3 hergeleitete Gleichungen reichen doch nicht ganz aus. Wer kann mir weiterhelfen? Kann man aus dem Sattelpunkt doch noch mehr herauslesen?
Gruß
Tom
Sers
Also, wenn ich dich richtig verstanden habe lautet die Funktion
f(x)=ax^5 + bx^3 +cx (a0 ist nicht ganz richtig, den der Parameterwert muss bei einem punktsymmetrischen Graphen (also wenn er punktsymmetrisch zum KOSY ist) 0 betragen. Punktsymmetrie gilt dann, wenn gilt: f(x)=-f(-x). Die ungeraden Exponanten sorgen bei den Potenzen dafür, beim letzten Koeffizienten muss gelten: d=-d! UNd das gilt nur für d=0)
Ok, die erste Ableitung lautet:
f’(x)=5ax^4 + 3bx^2 +c1
f’’(x)=20ax^3 + 6bx
Ok, du hast folgende Infos:
P(1/8) der Punkt liegt auf dem Graphen, in die erste Gleichung einsetzen. Jetzt hat man immer noch zu viele Variabeln.
P ist ein Sattelpunkt (auch Terassenpunkt genannt). Folglich:
f’(1)=0 und f’’(1)=0
8=a(1)^5 + b(1)^3 +c(1) + 1 --> 8=a+b+c
0=5a(1)^4 + 3b(1)^2 +c -------> 0=5a+3b+c
0=20a(1)^3 + 6b(1)^2 ---------> 0=20a+6b
Sodele, drei Gleichungen, drei Unbekannte…
Entweder: Gaußalgorithmus oder Determinantenverfahren
Ich bekomm als Lösung (ohne Gewähr):
a=6/16
b=-5/4
c=15/8
–> f(x)=(6/16)x^5 + (-5/4)x^3 + (15/8)x
Mfg
Rainer
P.S.: Keine Gewähr für das Ergebnis am Schluß, zur Sicherheit selber nochmal nachrechnen.
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Hallo!
Ich hab’ ein kleines Problem bei folgender Aufgabe : Der
Graph einer punktsymmetr. Funktion 5. Grades hat bei P(1/8)
einen Sattelpunkt. Wie lautet die Funktionsgleichung ?
P(1/8) : 8=a5+a3+a1+a0 (nur ungerade Exponenten, da
punktsymm.)
f’’(x)=0 : 0=20a5+6a3 (2.Ableitung =0, da Wendepunkt?)
f’(x)=0 : 0=5a5+3a3 (1.Ableitung =0, da waagr.
Tangente).
Also ich denke mir das so:
- f(1)=8 --> 8=a5+a3+a1
Das Glied a0 würde ich wegfallen lassen, da es ja für a0*x^0 steht und demzufolge gerade wäre.
- f’(1)=0 --> 0=5a5+3a3+a1
- f’(1)=0 --> 0=20a5+6a3
Drei Gleichungen reichen doch vollkommen für drei Unbekannte.
mfg Dirk
Hallo!
Ich bekomm als Lösung (ohne Gewähr):
a=6/16
b=-5/4
c=15/8
–> f(x)=(6/16)x^5 + (-5/4)x^3 + (15/8)x
P.S.: Keine Gewähr für das Ergebnis am Schluß, zur Sicherheit
selber nochmal nachrechnen.
Das ist tatsächlich das falsche Ergebnis, du hast bei allen Parametern seltsamerweise immer ein Achtel vom tatsächlichen Wert. Dadurch ergibt sich ein Sattelpunkt bei S(1;1)
*SCNR*
mfG Dirk
Das ist tatsächlich das falsche
Ergebnis, du hast bei allen Parametern seltsamerweise immer
ein Achtel vom tatsächlichen Wert. Dadurch ergibt sich ein
Sattelpunkt bei S(1;1)
Oops, sorry, hatte bei meiner Determinante nen falsch Wert drin (Überraschung, ne 1 statt ner acht 8).
Habs ausgebessert und komm jetzt auf das vermeintlich richtige Ergebnis:
f(x)=3x^5-10x^3+15x
P.S.: Wer richtig hätte klugscheißen wollen, der hätte messerscharf kombiniert, dass in der Determinante eine 1 statt ner acht stand. Dann wärs cool gekommen *eg*
Hallo allerseits!
Da danke ich doch ganz herzlich: Auch ich hab’ das richtige Ergebnis
a5=3, a3=-10 und a1=15 herausbekommen. Mein Fehler war, wie bereits
erwähnt, das ich a0 als ungeraden Exponenten deklarierte.
Grüße aus der Pfalz !
Tom
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