Wieder 'was einfaches für Euch, Schildkröte+Läufer

Hallo Ihr Lieben!

Ihr habt mir so nett bei der Ziegentür geholfen, jetzt fiel mir ein weiteres Problem ein. Nur ein Rätsel, nix Weltbewegendes, aber ich verwend’ es immer wieder mal gerne.

Da glaube ich zwar, die Lösung zu kennen, mein Problem ist bloß - ich erklär’ die Lösung scheinbar so blöd, daß sie nie einer versteht.

Das Problem kennt Ihr vielleicht.

Da heißt es, ein Läufer und eine Schildkröte laufen um die Wette. Weil die Schildkröte langsamer ist, bekommt sie 100 Meter Vorsprung.

Frage: Wie ist es möglich, daß der Läufer die Schildkröte jemals überholt.

Denn: In der Zeit, die der Läufer braucht, um dorthin zu laufen, wo die Schildkröte loslief, ist die Schildkröte auch wieder eine Strecke, Hausnummer 50 m, gelaufen.

In der Zeit, die der Läufer braucht, um wiederum diese 50 m zu laufen, legt die Schildkröte wieder eine Strecke zurück.

Und so fort. Die Distanz zwischen dem Läufer und der Schildkröte wird zwar immer kleiner werden, doch der Läufer kann die Schildkröte mathematisch betrachtet nie überholen.

Ende Rätsel. Nun habe ich selbst ja Stunden gebraucht, um dieses Rätsel zu lösen - bin eben mathematische Laiin. Und die meisten Menschen, denen ich begegne, ebenfalls - und die wollen von mir die Lösung hören. Nur hab’ ich nie eine Lösung bekommen - bekam das Rätsel von jemandem, der die Lösung selbst nicht kannte (und meiner Lösungserklärung damals auch nicht folgen konnte).

Meine Erklärung klingt so:

Die Fragestellung ist „unfair“. Laut Fragestellung gibt man dem Läufer ja stets nur so viel Zeit, wie er braucht, um zum letzten bekannten Standort der Schildkröte zu kommen - man gibt ihm gar nicht die Zeit, die er braucht, zu dem Punkt auf der Strecke zu kommen, wo er die Schildkröte überholt.

Aber irgendwie versteht man diese Lösung so oft nicht.

Wie kann ich das besser erklären?

Hoffe das langweilt Euch nicht - habe mal so die letzten Themen hier angesehen - nicht meine Kragenweite. :wink:

Karin

Ups, vielleicht bin ich hier auch falsch …
… gerade erst habe ich in der Abteilung Sprache gelesen, daß es auch eine Abteilung Rätsel und Denkspiele gibt - hoffe, es stört Euch nicht, daß ich das hier geposted habe, ich wußte das nicht.

Karin

idee, aber keine ausgefeilte lösung:
was viele übersehen ist, dass der zeitraum, in dem läufer bzw schildkröte die jeweilige strecke zurücklegen immer kleiner wird bzw gegen null geht (wenn auch die länge der zurückgelegten strecke gegen null geht). d.h. in immer kürzerer zeit werden immer kürzere Wege zurückgelegt, wobei auch immer weniger unterschied zw. dem weg des läufers und dem weg der schildkröte ist. und irgendwann gehts dann eben gegen null…

Hi,

das ist uralt, stammt von Zenon in der griechischen Antike, u.a. auch die Frage, wenn man einen Pfeil auf einen Baum schiesst, dann muss er erst die H"alfte des Weges zur"ucklegen, dann wieder die H"alfte,… und wird also nie ankommen.

Eine modernere Variante wurde wurde mal Herrn J.v. Neumann gestellt, zwei Z"uge fahren mit 50 km/h jeweils aufeinander zu, eine Lok pfeifft, die andere pfeifft zur"uck oder das Echo kommt retour, und dann wieder und wieder, bis die Loks sich begegnen. Welchen Weg hat der Schall zur"uckgelegt?
Herr von Neumann meinte, dass er die Reihe im Kopf summiert habe.

Problem ist die Epsilontik, weil die moderne Antwort braucht einen Grenzwert, und die moderne Definition daf"ur ist unanschaulich.

Ciao Lutz

Problem ist die Epsilontik, weil die
moderne Antwort braucht einen Grenzwert,
und die moderne Definition daf"ur ist
unanschaulich.

Ja, ich glaube wirklich, wenn ich das in mein Vokabular aufnehme, dann werden mich alle verstehen. Klingt so einleuchtend und plausibel! :wink:

Ich hab’s mir ja gedacht, bei Euch klugen Köpfen bin ich irgendwie falsch :wink:)

Karin

Re: Wieder 'was einfaches für Euch, Schildkröte+Lä

von Lutz Lehmann (24.1.2000 16:31 Uhr)

Na gut,

machen wir noch eine einfache L"osung, bleiben wir bei den 100m und 50m. Betrachten wir die Strecke, die der L"aufer
zur"ucklegt, in Abh"angigkeit von der Strecke der Schildkr"ote. Das ist hier doppelt so viel. D.h. sl=Strecke L"aufer=2ss=2Strecke
Schildkr"ote. Nach Aufgabe ist am Anfang die Schildkr"ote 100m vor dem L"aufer, also pl=Position L"aufer=2ss und ps=Position
Schildkr"ote=100m+ss. Gesucht ist der Punkt, wo pl=ps ist, also 2ss=100m+ss, also ss=100m, sie treffen sich also, nachdem die
Schildkr"ote 100m und der L"aufer 200m gelaufen sind.

Und nun mach das mal im Originalsetup mit Achilles und einem Stadion (ca. 800m) Vorsprung und einem
Geschwindigkeitsverh"altnis von 1:10.

MfG Lutz

Hallo Karin,

dein Gedankengang ist sehr schön und richtig. Um so bemerkenswerter als Du keine Mathematikerin bist.
„Unfair“ ist natürlich die Fragestellung. Es werden unendlich viele Zeiten addiert und implizit angenommen die Summe wäre unendlich („nie erreichen“) das stimmt aber eben nicht.
Die Summe ist immer so groß wie die Zeit die man erreicht wenn man einfach die Gleichung
Geschwindigkeit Renner * Zeit = Geschwindigkeit Schildkröte * Zeit + Vorsprung
nach der Zeit löst.

Max

Hallo Karin,

bin auch kein Mathematiker, aber ich versuch`s mal:

Nehmen wir an, der Läufer läuft mit 10 m/s, die Schildkröte mit 1 m/s. Für die ersten 100 m braucht der Läufer also 10s, dann ist die Schildkröte schon 10m weiter. Der Läufer braucht dafür 1 s, die Schildkröte ist 1 m weiter, usw.
Wenn du alle Zeitabschnitte addierst, kriegst du so etwas wie 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + … = 11,11111111111…s.
Das ist die Zeit, nach der der Läufer die Kröte einholt. Wie Du siehst, eine endliche Zahl, nur eben mit unendlich vielen Kommastellen. Wie schon jemand bemerkt hat, addiert man immer kleinere Zeitabschnitte, so daß die Summe nicht unendlich werden kann, sondern gegen einen Grenzwert läuft.
Hilft das als Erklärung?

ciao…

Hallihallo

Mathematisch kann man das Problem so formulieren:
Sei A die Geschwindigkeit der Schildkroete im Verhaeltins zum Laeufer, z.B wenn die Schildkroete halb so schnell ist wie der Laeufer, ist A=1/2, wenn sie zehnmal langsamer laeuft, ist A=1/10 etc…

Sei V der Vorsprung, den die Schlidkroete hat.

Der Weg, den der Laeufer zuruecklegen muss, bis er die Schlidkroete einholt, ist

S = V * summe(A^k, k=0…infinity)

(in Worten man summiert A^0+A^1+A^2+A^3 …,
z.B. fuer A=1/2 und V=100m:
S=100*(1+1/2+1/4+1/8…) )

Die Formel oben ist eine sog. geometrische Reihe, die geanau dann konvergiert, wenn A