Hallo,
Ich habe folgendes vorliegen (es geht um Winkel zweier Vektoren):
a1b1+a2b2 =
|a| cos alpha * |b| cos beta + |a| sin alpha * |b| sin beta
|a| |b| (cos alpha cos beta + sin alpha sin beta)
|a| |b| cos(beta - alpha)
|a| |b| cos gamma
Das |a| bzw. |b| steht immer Vektor a bzw. b im Betrag.
Was mir jetzt nicht klar ist bzw. wo ich keinerlei Logik sehe:
Schritt 2: Wo kommen denn plötzlich cos, sin, alpha beta her???
Schritt 3 zu 4: Wie geht das? Cosinussatz?
Schritt 4 zu 5: beta - alpha = gamma?
Vielleicht sieht jemand von euch da eine Logik, ich seh keine…
Hallo, Tobias!
Deine Aufstellung ist un verständlich:
a1b1+a2b2 =
|a| cos alpha * |b| cos beta + |a| sin alpha * |b| sin beta
|a| |b| (cos alpha cos beta + sin alpha sin beta)
|a| |b| cos(beta - alpha)
|a| |b| cos gamma:
Sollen daß Alternativen sein, oder was?
Das von dir angesprochene Skalarprodukt, was ist das eigentlich?
Definiert wurde es doch als bloßes Betragsquadrat eines Vektors, wie du ja schon andeutetest.
Wiue kam man aber eigentlich dazu, 2 verschieden Vektoren „sklaraproduktmäßig“ zu verknüpfen?
Ganz einfach (doch selten so erklärt):
Wenn du den Summenvektor a + b nimmst, und dessen Betrag berechnen willst, machst du natürlich (a+b)^2, das ja einmal
(a1+b1)^2 + (a2+b2)^2 +++ (an+bn)^2 (und darauas dann die Wurzel), aber gleichzeitig ja auch (Distributivgesetz) gleich
a^2 +2a*b+b^2 ist („2ter binomischer Lehrsatz“), wo a^2 und b^2 die bereits definierten/erwähnten Vektor- = Betrags-quadrate von Va und Vb sind, und 2*a*b eben das „merkwürdige neue Konstrukt“ „Skalarprodukt der Vektoren a und b“.
Und nach dem Cosinussatz für beliebige Dreiecke gilt ja:
c^2 = a^2 + b^2 + 2*a*b*cosgamma.
(Wobei ja dieser Cosinussatz üblicherweise trigonometrisch, nicht vektorwertig b e w i e s e n wird.
Wo c^2 wohl das Seitenquadrat von c ist, was ja aber auch glz, wie du weißt gleich dem Skalarquadrat des Vektors c ist.
Also gilt „natürlich“ von den Versiopnen nur die 5te.
weil
a1 = |a| cos alpha
b1 = |b| cos beta
a2 = |a| sin alpha
b1 = |b| sin beta
ist (alpha = Winkel, den der Vektor a mit der x-Achse einschließt, beta = W. den der V. b mit der x-Achse einschließt), folgt
|a| cos alpha * |b| cos beta + |a| sin alpha * |b| sin beta
durch Ausklammern von |a||b| folgt:
|a| |b| (cos alpha cos beta + sin alpha sin beta)
mit dem Cosinussatz (siehe Formelsammlung) folgt:
|a| |b| cos(beta - alpha)
und mit beta - alpha = Winkel, den die Vektoren a und b miteinander einschließen = gamma
|a| |b| cos gamma
Vielleicht sieht jemand von euch da eine Logik, ich seh
keine…
Mach Dir eine (große, saubere) Skizze , dann siehst Du alles.