Winkel zwischen zwei Eebenen

Wissenschaft Mathematik
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Hallo zusammen,

es geht um die Aufgabe, 1b)(Geometrie) im BAyern-Lk.Abi 2004 (S.9)
http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadF…

die dazugehörige Lösung (aus Lösungsheft) ist

cos a = 10/19 --> a = 58,24°
wobei man das 10/19 erhält, indem man das Skalarprodukt von (6,15,10) und (0,0,1) durch Wurzel(36+225+100) teilt.

aber eigentlich ist der gesuchte winkel doch 90° - a = 31,76° oder?
ist die Lösung also falsch? oder sehe ich irgendwas falsch? lg

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Hallo,

Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen ist gleich dem Winkel, den die beiden Normalvektoren einschliessen. Sind die Ebenen parallel, dann auch deren Normalvektoren, sind sie senkrecht zueinander, dann auch deren Normalvektoren.

Die Aufgabe habe ich mir nicht genau angesehen.

hth
mk

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Hallo Rosi.

es geht um die Aufgabe, 1b)(Geometrie) im BAyern-Lk.Abi 2004
(S.9)

Im Link lautet diese Aufgabe: „Zeigen Sie, dass das Paralellogramm ABCD in einer Parallelebene zu E liegt, die nicht mit der Ebene E identisch ist.“ Da ist doch gar nicht nach einem Winkel gefragt.

die dazugehörige Lösung (aus Lösungsheft) ist
cos a = 10/19 --> a = 58,24°

Vielleicht hast Du die Aufgaben oder Jahrgaenge durcheinandergeworfen.

Liebe Gruesse,

The Nameless

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Moin, moin!/Guten Abend,

es geht um die Aufgabe, 1b)(Geometrie) im BAyern-Lk.Abi 2004
(S.9)

Du meinst Seite 10, bzw. Teilaufgabe römisch 6 (VI).

die dazugehörige Lösung (aus Lösungsheft) ist

cos a = 10/19 --> a = 58,24°

Ich habe das gleiche Ergebnis herausbekommen, wie es dein Lösungsheft dir vorgibt. Also sind Ergebnis und Aufgabe scheinbar richtig.

wobei man das 10/19 erhält, indem man das Skalarprodukt von
(6,15,10) und (0,0,1) durch Wurzel(36+225+100) teilt.

Der Lösungsweg kann folgender sein:
A) Man ermittelt jeweils den Normalenvektor der beiden Ebenen.
B) Dann setzt man beide Vektoren ((a), (b)) in die bekannte Formel zur Schnittwinkel zweier Ebenen ein:
cos(@) = [|(a)*(b)|]/[|(a)|*|(b)|]

A) Ermitteln der Normalenvektoren:

  1. Normalenvektor (Normalenvektor der Ebene F):
    Man stellt die Parameterform der Ebene auf.
    Für die 3 Punkte (A, B, C), die einem gegeben sind, muss gelten:
    (A) + € * (B-A) + § * (C-A) = (x)

Jetzt stellt man die Normalenform auf.
Den dafür benötigten Normalenvektor errechnet man aus den beiten Richtungsvektoren ((B-A), (C-C)) der Parameterform.
Der Normalenvektor ist nichts Anderes als das Richtungvektor-Vektorprodukt.

Wir erhalten einen Normalenvektor (6, 15, 10)für unsere Ebene F, wie im Lösungsheft.

  1. Normalenvektor (Normalenvektor der x1-x2-Ebene):
    Mit „x1-x2-Ebene“ ist die Ebene gemeint, in der die Koordinatenachsen x1 und x2 enthalten sind.
    Wenn man ein katesisches Koordinatensystem gegeben hat (das haben wir), dann liegen alle 3 Achsen-Geraden im 90°-Winkel
    aneinander.
    Wenn man also die Ebene betrachtet, die durch 2 dieser 3 Achsen-Geraden aufgespannt wird, dann durchbort die 3te Achsen-Gerade diese Ebene immer im 90°-Winkel.

Jeder Normalenvektor ist so definiert, dass er im 90°-Winkel seiner Ebene liegt.
Der Normalenvektor der x1-x2-Ebene ist also die x3-Gerade.

Die Länge des Normalenvektors ist egal, wir allein die Information seiner Richtung benötigen.
Deshalb kann man ihn der einfach die Länge 1 haben lassen:
Der Normalenvektor der x1-x2-Ebene mit der Länge 1 ist der Vektor (0, 0, 1).
Anders: Wenn wir uns im 90°-Winkel von unserer x1-x2-Ebene entfernen, dann gehen wir einfach einen Schritt entlang der x3-Achse.

B)Einsetzen in die Formel:
Wir haben unsere beiden Normalenvektoren n1 = (6, 15, 10) und n2 = (0, 0, 1).
Die Formel gibt vor, dass man den Betrag des Skalarproduktes beider Vektoren (1.) durch das Produkt der Beträge beider Vektoren (2.) dividiert (3.).

  1. Dividend:
    Das Skalarprodukt zweier Vektoren erhält man, indem man das Produkt der „verwandten“ Koordinaten bildet, diese Produkte addiert (das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor).

0*6 + 0*15 + 1*10 = 10
Für unser Beispiel erhalten wir also 10.

  1. Divisor:
    Der Betrag eines einzelnen Vektors ist zugleich seine Länge (auch eine Zahl, kein Vektor).
    Man errechnet die Länge, bzw. den Betrag, indem man die 3 Koordinaten des Vektors quadriert, dann die Summe der 3 Quadrate bildet, dann die Summe wuzelt.

Für n1 erhalten wir 1, für n2 erhalten wir Wurzel(36+225+100), ausgerechnet ergibt dies 19, wie du bereits sagtest.

Das Prdukt von 1 und 19 ist leicht zu erraten.

  1. Quotient:
    cos(@) ist also 10 / 19.
    @ ist 58°

aber eigentlich ist der gesuchte winkel doch 90° - a = 31,76°
oder?
ist die Lösung also falsch? oder sehe ich irgendwas falsch?

Vereinfacht kann man sich die beiden sich kreuzenden Ebenen als zwei Geraden vorstellen.
Zwei Geraden erzeugen 4 Winkel, von denen, die sich gegenüberliegenden, 2 Winkel gleichgroß sind.
(Nebenbei: Alle 4 Winkel müssen 360° umfassen.)

Mit unser Formel haben wir @ (unser Platzhalter für „Alpha“) errechnet.
Alpha bezeichnet für gewöhnlich die beiden kleineren Winkel.

Beide Winkel können als „Winkel unter denen sich die Ebenen schneiden“ - wie die Aufgabe es verlangt - bezeichnet werden.

Wie du schon andeutest, erhalten wir den Winkel, mit dem sich @ zu 180° ergänzt, indem wir von diesen 180° (nicht wie bei dir 90°) Alpha abziehen:
180° - 58° = 122°
Probe:
2*122° + 2*58° = 360°

Ich hoffe, dass ich weiterhelfen konnte.
MfG Roach v. R.

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ja stimmt, es handelt sich natürlich um s.10

aber danke für die antworten, habs gepeilt:smile: glg