Hallo,
als Beispiel für eine Winkelfunktion nehmen wir mal den
Kosinus her.
Der ist ganz klassisch in einem rechtwinkligen Dreieck
definiert als Ankathete dividiert durch die Hypotenuse.
In einem Buch zur Analytischen Geometrie hab ich diese
Definition gefunden: cos(a)=
(Skalarprodukt(Vek(a)*Vek(b)))/(|Vek(a)|*|Vek(b)|)
Kann man jetzt mathematisch einwandfrei zeigen…
selbstverständlich.
Dazu schnappst Du Dir nichts weiter als zwei Vektoren a und b , und skizzierst Dir diesen Sachverhalt folgendermaßen:
S
/| \
/ | \
b / | \ c
/ | \
/ h| \
/ | \
/ | \
/ d | e \
O--------+-----------------\>
a
„0“ ist der Ursprung, dort sind a und b verwurzelt („Ortsvektoren“). Die Pfeilspitze von a ist „>“, die von b liegt im Punkt S.
Wie man sieht, entsteht mit zwei Vektoren automatisch ein (im allgemeinen nicht-rechtwinkliges) Dreieck. Für dieses sind stets auch diese für uns interessanten Größen wohldefiniert:
● Der Vektor, der von „>“ nach „S“ zeigt. Wir nennen ihn c.
● Die Höhe des Punktes S. Wir nennen sie h.
● Die Längen der beiden a-Teilstücke. Wir nennen sie d und e.
● Der von a und b eingeschlossene Winkel (befindlich im Punkt 0). Wir nennen ihn γ.
Mit diesen Definitionen können wir für unser Dreieck folgende Gleichungen aufstellen:
(1) c = b – a
(2) a = d + e
(3) b2 = h2 + d2
(4) c2 = h2 + e2
(5) cos γ = d/b
(1) und (2) sind klar, (3) und (4) ist der Satz des Pythagoras für das linke bzw. rechte rechtwinklige Teildreieck (rechter Winkel im Punkt „+“!), und (5) ist die Kosinusdefinition „Ankathetenlänge geteilt durch Hypothenusenlänge“.
Damit haben wir alles zusammen, um die Antwort auf Deine Frage ganz easy ausrechnen zu können:
cos γ
(5)
= d / b
= –2 a d / (–2 a b)
= (a2 + b2 – 2 a d – (a2 + b2)) / (–2 a b)
(3)
= (h2 + d2 + a2 – 2 a d – (a2 + b2 – 2 a · b + 2 a · b )) / …
(binomische Formel)
= (h2 + (a – d)2 – (( b – a )·( b – a ) + 2 a · b )) / …
(2) (1)
= (h2 + e2 – ( c · c + 2 a · b )) / …
(4)
= (c2 – (c2 + 2 a · b )) / …
= (c2 – c2 – 2 a · b ) / …
= –2 a · b / (–2 a b)
= a · b / (a b)
Fertig. Dabei wurde in dem mit „binomische Formel“ gekennzeichneten Schritt von der Distributivität des Skalarprodukts bzgl. Addition/Subtraktion Gebrauch gemacht. Es gilt: ( x + y ) · z = x · z + y · z und x · ( y + z ) = x · y + x · z. Dies ist eine grundlegende Eigenschaft des Skalarprodukts. Die verwendete Identität ( x – y )·( x – y ) = x2 – 2 x · y + y2 ist eine Folgerung daraus.
Gruß
Martin