Wofür stehen die Zahlen der Ableitung?

[W_W_W]

Liebe/-r Experte/-in,

ich experimenterie gerade mit der Beschleunigungskurve für einen Porsche der eine maximale Geschwindigkeit von 308 km/h erreicht. Diese Funktion sieht so aus:

f(x)=308*(1-2^(-0,138*x))

Um die Steigung in der Kurve darstellen zu können habe ich die erste Ableitung berechnet:

f’(x) = 0,138*log(2)*(772^(2-0,138*x))

(Stimmt die Ableitung so?)

Was ich nicht verstehe, ist, was die Werte dieser Ableitung bedeuten. Die sehen so aus:

(1|9891) (1,25|7863) (1,5|6252) (1,75|4970) (2|3951) (2,25|3141) (2,5|2497) (2,75|1986) (3|1579) (3,25|1255) (3,5|997,7) (3,75|793,2) (4|630,6) (4,25|501,3) (4,5|398,6) (4,75|316,9) (5|251,9) (5,25|200,3) (5,5|159,2) (5,75|126,6) (6|100,6) (6,25|80,01) (6,5|63,61)

Prinzipiell ist mir klar, dass die Ableitung die Beschleunigung, d.h. die Veränderung der Geschwindigkeit darstellt. Aber was bedeuten diese hohen Zahlen für den Y-Wert? Klar, am Anfang ist die Beschleunigung am stärksten, sie nimmt laufend ab und läuft nach 95 Sekunden gegen 0, wenn das Fahrzeug seine Maximalgeschwindigkeit von 308 km/h erreicht hat.

Wofür aber stehen diese Zahlen? Welche Maßeinheit gehört dazu? km/h kann es ja kaum sein.

Welche Maßeinheit gehört also zum x/y-Wert?

Danke,

WWWW

[Manfred_Hanke]

Hallo WWWW,

ich experimenterie gerade mit der Beschleunigungskurve für
einen Porsche der eine maximale Geschwindigkeit von 308 km/h
erreicht. Diese Funktion sieht so aus:
f(x)=308*(1-2^(-0,138*x))

Um die Steigung in der Kurve darstellen zu können habe ich die
erste Ableitung berechnet:
f’(x) = 0,138*log(2)*(772^(2-0,138*x))
(Stimmt die Ableitung so?)

Mir ist nicht so ganz klar, wie Du auf den letzten Teil (772^(2-0,138*x)) des Terms kommst.

Ich rechne das so:

\frac{\rm d~}{{\rm d}x}:\Big{308\cdot(1-2^{-0.138x})\Big}
=\frac{\rm d~}{{\rm d}x}:\Big{308 - 308\cdot\exp(-0.138\cdot\log(2)\cdot x)\Big}

=0 -308\cdot(-0.138\cdot\log(2))\cdot\exp(-0.138\cdot\log(2)\cdot x)

was die Werte dieser Ableitung bedeuten.

Wenn f(x) die Einheit km/h und x die Einheit s hat, dann hat
f’(x) = df/dx die Einheit km/h/s, was 0.2777 m/s^2 oder 0.028 g entspricht.

Formal wird das auch klar, wenn man die Einheiten richtig mitnimmt:
Für

f(x) = 308\frac{\rm km}{\rm h} \cdot (1-2^{-0.138\cdot x/\rm s})

ergibt sich

f’(x) = 308\frac{\rm km}{\rm h} \cdot 0.138/{\rm s} \cdot 2^{-0.138\cdot x/\rm s}

Schöne Grüße,

Manfred

[Manfred_Hanke]

Hallo WWWW,

ich experimenterie gerade mit der Beschleunigungskurve für
einen Porsche der eine maximale Geschwindigkeit von 308 km/h
erreicht. Diese Funktion sieht so aus:
f(x)=308*(1-2^(-0,138*x))

Um die Steigung in der Kurve darstellen zu können habe ich die
erste Ableitung berechnet:
f’(x) = 0,138*log(2)*(772^(2-0,138*x))
(Stimmt die Ableitung so?)

Mir ist nicht so ganz klar, wie Du auf den letzten Teil (772^(2-0,138*x)) des Terms kommst.

Ich rechne das so:

\frac{\rm d~}{{\rm d}x}:\Big{308\cdot(1-2^{-0.138x})\Big}
=\frac{\rm d~}{{\rm d}x}:\Big{308 - 308\cdot\exp(-0.138\cdot\log(2)\cdot x)\Big}

=0 -308\cdot(-0.138\cdot\log(2))\cdot\exp(-0.138\cdot\log(2)\cdot x)

was die Werte dieser Ableitung bedeuten.

Wenn f(x) die Einheit km/h und x die Einheit s hat, dann hat
f’(x) = df/dx die Einheit km/h/s, was 0.2777 m/s^2 oder 0.028 g entspricht.

Formal wird das auch klar, wenn man die Einheiten richtig mitnimmt:
Für

f(x) = 308\frac{\rm km}{\rm h} \cdot (1-2^{-0.138\cdot x/\rm s})

ergibt sich

f’(x) = 308\frac{\rm km}{\rm h} \cdot 0.138/{\rm s} \cdot log(2) \cdot 2^{-0.138\cdot x/\rm s}

Schöne Grüße,

Manfred

[Pokerpro]

Hallo,
der Wert der für f(x) rauskommt ist also die Geschwindigkeit von deinem Porsche. Was setzt du für x als Variable ein?
Die Ableitung ist leider falsch, da nach x abgeleitet wird und (ausmultiplizieren, dann isses leichter) alle Terme ohne x fallen schonmal weg:
f’(x)= -308*ln2*2^(-0,138x)
Dies ist nun die Steigung des Graphen der Geschwindigkeit, wenn diese gleich 0 ist findet man die maximale (und auch minimale) Geschwindigkeit des Porsches in Abhängigkeit von x.
Allgemein sagt die Ableitung wie f(x) in einem Punkt steigt, also ob, in unsrem Bsp, der Porsche bei größerem x schneller oder langsamer wird.
Der erste Wet dieses Zahlenpaare ist der Wert, der für x eingesetzt wird, die zweite ist dann der Wet von f(x)

Wichtig für das Verständniss ist mir noch was für x eingesetzt wird (Temperatur, Anzahl der Insassen oder Tomaten:smile:)
f(x) ist wohl die Geschwindigkeit.

MfG Pokerpro

[soja]

Hallo WWW,

die Formel fuer die Ableitung konnte ich nicht nachvollziehen. Wo ist denn die 308 geblieben?

Was ist x? Welche Masseinheit hat x? f(x) ist vermutlich v(t), die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t. Nun muessen auch in der Formel v(t) Masseinheiten vorkommen, also z.B.

v(t) = 308 km/h * (1 - 2^(-0.138 t / s)),

wobei die Masseinheiten die Zahlen entscheidend bestimmen. s bedeutet hier 1 Sekunde. (Es kann auch ganz anders sein als in der Zeile oben!)

Dann ist die Beschleunigung a(t) = v’(t); sie hat die Masseinheit km / (h * h) oder m / (s * s).

HTH
soja

[Peter_Saalfeld]

Hallo Manfred, die Ableitung von a^x ist a^x.lna, die Ableitung von 2^(-0,138x) ist dann 2^(-0,138x).(-0,138).ln2 (Kettenregel). Deine Zahlen verstehe ich nicht.
Die Ableitung nach x ist aber nicht die Geschwindigkeit sondern die Steigung des Graphen Deiner Funktion!!! Ich kenne Deine Formel nicht, vielleicht bedeutet ja x=Zeit, dann stimmt das mit der Beschleunigung, aber dann ist das eine zugeschnittene Funktion, in der angegeben sein müsste, in welcher Einheit die Zeit einzutragen ist, denn im Exponenten darf ja keine Einheit stehen!
Viele Grüße, Peter