Hallo,
woher kommt denn der Algorithmus der Polynomdivision?
Also der, der so funktioniert wie schriftliches Teilen, wobei ja das eine Spezialform der Polynomdivision.
Ist dieser Algorithmus beweisbedürftig oder hat man einfach gesehen, dass man, wenn man den Teiler und das Ergebnis dieser Rechnung miteinander multipliziert, dass dann wieder der Dividend rauskommt?
Oder gibt nicht doch eine allgemeine Bestätigung, dass dieser Algorithmus immer zum Ziel führt?
Reicht ein allgemeines durchrechnen mit Variablen, also teilen und wieder ausmultiplizieren, schon aus, um diesen Algorithmus zu beweisen und in seiner Richtigkeit zu bestätigen?
Allerdings wie würde man das für unendlich viele Glieder bei den Polynomen beweisen?
Du kannst immer 2 beliebige Polynome durcheinander teilen, aber in den seltesten Fällen wird das ganzzahlig aufgehen, d.h. ohne Rest. Wenn allerdings der Term, durch den man teilt (der Divisor), die Form (x - Nullstelle) hat, dann geht es ohne Rest auf. Das kann man beweisen, weil jedes Polynom n-ten Grades sich als Produkt aus n Faktoren eben der Form (x - Nullstelle) schreiben lässt.
An dem Verfahren selbst gibt es nichts zu beweisen, das ist ein Rechenschema. Man teilt den Summanden mit der höchsten Potenz durch den ersten Summanden des Divisors. Was da rauskommt, ist eine erste Abschätzung für das Ergebnis. Man macht jetzt quasi die Probe, und multipliziert dieses vorläufige Ergebnis mit dem Divisor. Was da rauskommt, zieht man vom Dividenden ab. Wenn da jetzt Null rauskommt, ist man fertig, und das Ergebnis stimmt schon so. Wenn da was anderes als Null rauskommt, ist das eben der Rest der Division. Und nun kann man wieder versuchen, auch noch diesen Rest zu teilen, indem man dieses Verfahren wiederholt. Usw. Und wenn nach endlich vielen Schritten Null rauskommt, konnte man eben ohne Rest teilen.
Du kannst immer 2 beliebige Polynome durcheinander teilen,
An dem Verfahren selbst gibt es nichts zu beweisen, das ist
ein Rechenschema.
Das bestreite ich ja nicht, ich möchte nur wissen, wie man das Verfahren der Polynomdivision allgemein beweist.
Denn man sieht, dass man mit diesem Verfahren, wenn man Divisor mit dem Ergebnis der Division multipliziert wieder der Dividend rauskommt.
Das gilt es doch aber mal aus irgendeiner Struktur der Polynome zu folgern, dass das wirklich allgemein und für unendlich viele Glieder gilt, dass man den Algorithmus immer so verwenden kann, egal um welches Polynom es sich handelt.
Vielleicht wenn da jemand noch etwas zu sagen könnte
Das gilt es doch aber mal aus irgendeiner Struktur der
Polynome zu folgern, dass das wirklich allgemein und für
unendlich viele Glieder gilt, dass man den Algorithmus immer
so verwenden kann, egal um welches Polynom es sich handelt.
Kurz geasgt: Die Polynome werden i.a. über eine algebraische Struktur gebildet, die abgeschlossen gegenüber bestimmten Reheniperationen sind. Diese Eigenschaft vererbt sich dann auf den Polynomring; die Polynomdivision ist ja nichts weiter als „ausklammern“.
Siehe : http://de.wikipedia.org/wiki/Polynomring