Man würfelt mit einem (fairen) Würfel 4 mal.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Zahlen gleich sind.
Ich bin da erstmal so rangegangen:
Beim 1. Wurf ist es „egal“, welche Zahl ist werfe. (6/6 = 1)
Beim 2. Wurf sollte es die gleiche sein. (1/6)
Beim 3. Wurf eine andere als die die Zahl zuvor. (5/6)
Beim 4. Wurf eine andere Zahl als beim 1./2. bzw. 3. Wurf. (4/6)
Dann noch die Anordnungsmöglichkeiten beachten.
Dabei dachte ich mir, dass man ja insgesamt 4 Zahlen hat, davon 2 gleiche, also gibt es 4!/2! = 12 Möglichkeiten dies anzuordnen.
Somit komm ich auf
1 * 1/6 * 5/6 * 4/6 * 12.
Das ist aber natürlich falsch, da ein Ergebnis > 1 rauskommt.
Wenn ich statt der 1 am Anfang 1/6 einsetze, dann sieht das Ergebnis zwar besser aus, aber mir wäre nicht klar, _warum_ dies dort stehen müsste.
(Schließlich ist die Wahrscheinlichkeit für einen beliebigen Pasch beim 2maligen Würfeln ja auch nicht 1/6*1/6=1/36, sondern wieder nur 1/6.)
Aber hmm. Hab ich irgendwie was doppelt bei den Möglichkeiten mit einbezogen?)
Hoffe, mein problem verständlich rübergebracht zu haben und hoffe auf Hilfe.
Man würfelt mit einem (fairen) Würfel 4 mal
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Zahlen
gleich sind.
betrachten wir die würfel als verschieden. dann:
6^4 = 1296 möglichkeiten insgesamt
6 möglichkeiten für die paare.
die können auf (4 über 2) = 6 verschiedene arten zustandekommen.
zu jedem paar gibts dann noch 5 * 4 = 20 füllungen auf die 4.
also 6 * 6 * 20 = 720 „positive“ möglichkeiten.
gibt wsk 720/1296 = 5/9 ~ 55,5%
Ich bin da erstmal so rangegangen:
Beim 1. Wurf ist es „egal“, welche Zahl ist werfe. (6/6 = 1)
Beim 2. Wurf sollte es die gleiche sein. (1/6)
Beim 3. Wurf eine andere als die die Zahl zuvor. (5/6)
Beim 4. Wurf eine andere Zahl als beim 1./2. bzw. 3. Wurf.
(4/6)
so weit, so gut, wenn du danach - wie hier - die umordnungen berücksichtigst.
Dann noch die Anordnungsmöglichkeiten beachten.
Dabei dachte ich mir, dass man ja insgesamt 4 Zahlen hat,
davon 2 gleiche, also gibt es 4!/2! = 12 Möglichkeiten dies
anzuordnen.
Somit komm ich auf
1 * 1/6 * 5/6 * 4/6 * 12.
Das ist aber natürlich falsch, da ein Ergebnis > 1
rauskommt.
hier multiplizierst du wahrscheinlichkeiten mit absoluten häufigkeiten, das ist das problem (oder: der fehler).
entscheide dich: rechnest du kombinatorisch über absolute häufigkeiten = anzahlen oder über wahrscheinlichkeiten? über wahrscheinlichkeiten wird die aufgabe bisserl schwierig, weil die zugrundeliegende baumstruktur schon etwas unübersichtlich ist.
zweithäufigster typ mit 360 varianten wäre lauter verschiedene, 120 varianten haben 3 gleiche, 90 mal gibts 2 paare und 6 mal gibts 4 gleiche.
Es gibt erstmal 3 Möglichkeiten, dass die geforderte Übereinstimmung passiert, nämlich entweder beim 2., 3. oder 4. Wurf. Die Wahrscheinlichkeiten dafür kann man ausrechnen und dann addieren.
Match beim 2. Wurf:
Dazu muss der 2. Wurf passen, das ist 1/6, der 3. muss was anderes sein als das Paar, also 5/6, und der vierte noch was anderes, also 4/6. Macht dann also 1/6 * 5/6 * 4/6 = 20/216
Match beim 3. Wurf
Dazu muss der 2. Wurf was anderes sein als der 1., das ist 5/6. Der dritte muss gleich dem 1. oder 2. sein, das ist 2/6, und der vierte was anderes als das Paar und der einzelne, das ist 4/6. Macht 5/6 * 2/6 * 4/6 = 40/216
Match beim 4. Wurf
Der 2. muss was anderes sein als der 1., also 5/6. Der 3. muss noch was anderes sein, also 4/6, und der 4. muss passen, also 3/6. Zusammen also 5/6 * 4/6 * 3/6 = 60/216
Alles zusammenaddiert ergibt dann 120/216 = 5/9
Schön, dass das gleiche rauskommt wie bei Michael. Oder ist das Zufall?
Man würfelt mit einem (fairen) Würfel 4 mal.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Zahlen
gleich sind.
Ich bin da erstmal so rangegangen:
Beim 1. Wurf ist es „egal“, welche Zahl ist werfe. (6/6 = 1)
Beim 2. Wurf sollte es die gleiche sein. (1/6)
Beim 3. Wurf eine andere als die die Zahl zuvor. (5/6)
Beim 4. Wurf eine andere Zahl als beim 1./2. bzw. 3. Wurf.
(4/6)
Soweit ist alles richtig.
Dann noch die Anordnungsmöglichkeiten beachten.
Genau, aber aufgepasst! Jetzt kommt der Knackpunkt.
Dabei dachte ich mir, dass man ja insgesamt 4 Zahlen hat,
davon 2 gleiche, also gibt es 4!/2! = 12 Möglichkeiten dies
anzuordnen.
Hier liegt Dein Denkfehler. Du hast nämlich nur 4 über 2 Möglichkeiten der Anordnung, denn in Deiner obigen Überlegung sind zum Beispiel die beiden Fälle:
1 2 1 4 und 1 4 1 2
beide schon enthalten. Somit ordnest Du nur noch die beiden gleichen Zahlen unter den Vier Zahlen an und die Anzahl der Möglichkeiten dafür ist gerade 4 über 2 = 6
Somit komm ich auf
1 * 1/6 * 5/6 * 4/6 * 12.
Das ist aber natürlich falsch, da ein Ergebnis > 1
rauskommt.
Wenn Du das entsprechend benutzt bekommst Du
1*1/6*5/6*4/6*6=20/36=5/9 ->
also genau das, was die anderen hier auch schon berechnet haben.
Du siehst: Es gibt immer ganz verschiedene Möglichkeiten, ein solches kombinatorisches Problem anzugehen.
Danke und Nachfrage
Danke an euch für die Antworten und die Lösungsvorschläge!
Hab meinen Denkfehler erkannt (und hoffe, dass ich in Zukunft gegen derartige gewappnet bin…)
Eine Frage ist bei mir noch aufgetaucht, die mit dem Verständnis der Aufgabenstellung zu tun hat.
Und zwar, da es heißt
„genau 2 Augenzahlen gleich“
bin ich davon ausgegangen, dass wirklich nur 2 gleiche vorkommen sollen, nicht aber so etwas wie z.b. 5 5 1 1 (also quasi 2mal 2 gleiche).
Woran kann man aus der Aufgabenstellung ersehen, was „erlaubt“ ist bzw. was nicht?
Oder ist das Interpretationssache?
